Bài 3.34 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E) : \(9{x^2} + 25{y^2} = 225\)

a) Tìm tọa độ hai điểm \({F_1}\), \({F_2}\) và các đỉnh của (E).

b) Tìm \(M \in (E)\) sao cho M nhìn \({F_1}\), \({F_2}\) dưới một góc vuông.

Gợi ý làm bài

(E): \(9{x^2} + 25{y^2} = 225 \Leftrightarrow {{{x^2}} \over {25}} + {{{y^2}} \over 9} = 1\)

a) Ta có : \({a^2} = 25,{b^2} = 9\)

\(\Rightarrow a = 5,b = 3\)

Ta có : \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16\)

\( \Rightarrow c = 4\)

Vậy (E) có hai tiêu điểm là : \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) và \({F_2}\left( {4;0} \right)\) và có bốn đỉnh là \({A_1}\left( { - 5;0} \right)\), \({A_2}\left( {5;0} \right)\), \({B_1}\left( {0; - 3} \right)\), \({B_2}\left( {0;3} \right)\).

b) Gọi M(x;y) là điểm cần tìm, ta có : 

\(\left\{ \matrix{
M \in (E) \hfill \cr
\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^ \circ } \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
M \in (E) \hfill \cr
O{M^2} = {c^2} \hfill \cr} \right.\left\{ \matrix{
9{x^2} + 25{y^2} = 225 \hfill \cr
{x^2} + {y^2} = 16 \hfill \cr} \right.\)

\(\left\{ \matrix{
{x^2} = {{175} \over {16}} \hfill \cr
{y^2} = {{81} \over {16}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \pm {{5\sqrt 7 } \over 4} \hfill \cr
y = \pm {9 \over 4}. \hfill \cr} \right.\)

Vậy có bốn điểm M thỏa mãn điều kiện của đề bài là : 

\(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\), \(\left( {{{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)\), \(\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4};{9 \over 4}} \right)\), \(\left( { - {{5\sqrt 7 } \over 4}; - {9 \over 4}} \right)\)

Bài 3.35 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E): \({{{x^2}} \over {{a^2}}} + {{{y^2}} \over {{b^2}}} = 1\left( {0 < b < a} \right)\). Tính tỉ số: \({c \over a}\) trong các trường hợp sau:

a) Trục lớn bằng ba lần trục nhỏ ;

b) Đỉnh trên trục nhỏ nhìn hai tiểu điểm dưới một góc vuông ;

c) Khoảng cách giữa đỉnh trên trục nhỏ và đỉnh trên trục lớn bằng tiêu cự.

Gợi ý làm bài

a) Ta có : \(a = 3b \Rightarrow {a^2} = 9{b^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} = 9\left( {{a^2} - {c^2}} \right)\)

\( \Rightarrow 9{c^2} = 8{a^2}\)

\( \Rightarrow 3c = 2\sqrt 2 a\)

Vậy \({c \over a} = {{2\sqrt 2 } \over 3}\)

b) \(\widehat {{F_1}{B_1}{F_2}} = {90^ \circ } \Rightarrow O{B_1} = {{{F_1}{F_2}} \over 2}\)

\( \Rightarrow b = c\)

\( \Rightarrow {b^2} = {c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} - {c^2} = {c^2}\)

\(\Rightarrow {a^2} = 2{c^2}\)

\( \Rightarrow a = c\sqrt 2 \)

Vậy \({c \over a} = {1 \over {\sqrt 2 }}\)

c) \({A_1}{B_1} = 2c \Rightarrow {A_1}B_1^2 = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 4{c^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} + {a^2} - {c^2} = 4{c^2}\)

\(\Rightarrow 2{a^2} = 5{c^2}\)

\(\Rightarrow \sqrt 2 a = \sqrt 5 c\)

Vậy \({c \over a} = \sqrt {{2 \over 5}} \)

Bài 3.36 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán Hình Học 10

Cho elip (E) : \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\) và điểm M(1;1). Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và cắt (E) tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

Gợi ý làm bài

(E): \(4{x^2} + 9{y^2} = 36\,(1)\)

Xét đường thẳng d đi qua điểm M(1;1) và có hệ số góc k. Ta có phương trình của 

d:y - 1 = k(x - 1) hay y = k(x - 1) + 1 (2)

Thay (2) vào (1) ta được

\(4x + 9{\left[ {k(x - 1) + 1} \right]^2} = 36\)

\( \Leftrightarrow \left( {9{k^2} + 4} \right){x^2} + 18k\left( {1 - k} \right)x + 9{\left( {1 - k} \right)^2} - 36 = 0\,(3)\)

Ta có : d cắt (E) tại hai điểm A, B thỏa mãn

MA = MB khi và chỉ khi phương trình (3) có hai nghiệm \({x_A}\), \({x_B}\) sao cho:

\({{{x_A} + {x_B}} \over 2} = {x_M} \Leftrightarrow {{ - 18k(1 - k)} \over {2(9{k^2} + 4)}} = 1\)

\( \Leftrightarrow 18{k^2} - 18k = 18{k^2} + 8 \Leftrightarrow k =  - {4 \over 9}\)

Vậy phương trình của d là : 

\(y =  - {4 \over 9}\left( {x - 1} \right) + 1\) hay 4x + 9y - 13 = 0.

Giaibaitap.me