Bài 2.59 trang 105 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có AB = c, AC = b (với \(b \ne c\)) phân giác trong AD = k (D nằm trên cạnh BC), BD = d, CD = e. Chứng minh hệ thức: \({k^2} = bc - de\)

Gợi ý làm bài

Ta có AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC nên \(\widehat {BAD} = \widehat {DAC}\)

\( \Rightarrow \cos \widehat {BAD} = cos\widehat {DAC}\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow {{A{B^2} + A{D^2} - B{D^2}} \over {2AB.AD}} = {{A{C^2} + A{D^2} - C{D^2}} \over {2AC.AD}} \cr
& \Rightarrow {{{c^2} + {k^2} - {d^2}} \over {2c.k}} = {{{b^2} + {k^2} - {e^2}} \over {2b.k}} \cr
& \Rightarrow b\left( {{c^2} + {k^2} - {d^2}} \right) = c\left( {{b^2} + {k^2} - {e^2}} \right)(*) \cr} \)

Vì AD là phân giác trong góc A của tam ABC nên \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\)

\( \Rightarrow bd = ce$\), từ (*) ta suy ra \(\left( {b - c} \right)\left( { - {k^2} + bc - be} \right) = 0\)

\( \Rightarrow {k^2} = bc - de\) (vì \(b \ne c\)) (điều phải chứng minh)

Bài 2.60 trang 105 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b và AB = c thỏa mãn hệ thức \({c \over {b + a}} + {b \over {a + c}} = 1\). Hãy tính số đo của góc A.

Gợi ý làm bài

Ta có: \({c \over {b + a}} + {b \over {a + c}} = 1\)

\(\eqalign{
& \Rightarrow c\left( {a + c} \right) + b\left( {b + a} \right) = \left( {b + a} \right)\left( {a + c} \right) \cr
& \Rightarrow ca + {c^2} + {b^2} + ba = ba + {a^2} + bc + ac \cr
& \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} = bc. \cr} \)

Ta có: \(\cos A = {{{b^2} + {c^2} - {a^2}} \over {2bc}} = {{bc} \over {2bc}} = {1 \over 2}\)

\( \Rightarrow \widehat A = {60^ \circ }\)

Bài 2.61 trang 105 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;2), B( - 3;1) và trực tâm H(-2;3). Hãy tìm tọa độ đỉnh C.

Gợi ý làm bài

A(1;2), B(-3;1) và trực tâm H(-2;3).

Gọi C(x;y). Ta có:

\(\overrightarrow {AH}  = ( - 3;1);\overrightarrow {BC}  = \left( {x + 3;y - 1} \right)\)

\(\overrightarrow {BH}  = (1;2);\overrightarrow {AC}  = \left( {x - 1;y - 2} \right)\)

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {BH} .\overrightarrow {AC} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 3.(x + 3) + 1.(y - 1) = 0 \hfill \cr
1.(x - 1) + 2.(y - 2) = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
- 3x + y = 10 \hfill \cr
x + 2y = 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{ - 15} \over 7} \hfill \cr
y = {{25} \over 7} \hfill \cr} \right.\)

Giaibaitap.me