Bài 2.65 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng tọa độ cho ba điểm A(7; - 3), B(8;4), C(1;5).

a) Tìm tọa độ điểm D thỏa mãn \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \);

b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình vuông.

Gợi ý làm bài

a) \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
8 - 7 = 1 - {x_D} \hfill \cr
4 + 3 = 5 - {y_D} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_D} = 0 \hfill \cr
{y_D} = - 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy D(0;-2)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC} \,(1)\)

\(\overrightarrow {AB}  = (1;7),\overrightarrow {AD}  = ( - 7;1)\)

\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  =  - 7 + 7 = 0\,(2)\)

\(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {1 + 49}  = 5\sqrt 2 \,(3)\)

Từ (1), (2), (3) =>ABCD là hình vuông.

Bài 2.66 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(1;3) và B(4;2).

a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA = DB;

b) Tính chu vi tam giác OAB;

c) Tính diện tích tam giác OAB.

Gợi ý làm bài

a) Vì điểm D nằm trên Ox nên tọa độ của nó có dạng D(x;0)

Theo giả thiết DA = DB nên \(D{A^2} = D{B^2}\)

Do đó: 

\({(1 - x)^2} + {3^2} = {(4 - x)^2} + {2^2}\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 + 9 = {x^2} - 8x + 16 + 4 \cr
& \Leftrightarrow x = {5 \over 3} \cr} \)

Vậy điểm D có tọa độ \(\left( {{5 \over 3};0} \right)\)

b) Gọi 2p là chu vi tam giác OAB, ta có:

\(\eqalign{
& 2p = OA + OB + OC \cr
& = \sqrt {{1^2} + {3^2}} + \sqrt {{4^2} + {2^2}} + \sqrt {{3^2} + {1^2}} \cr
& = \sqrt {10} + \sqrt {20} + \sqrt {10} \cr
& = \sqrt {10} (2 + \sqrt 2 ) \cr} \)

c) Ta có : \(O{A^2} + A{B^2} = O{B^2}\)

=> tam giác OAB vuông tại A

=> \({S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.AB = {1 \over 2}\sqrt {10} .\sqrt {10}  = 5\)

Vậy diện tích tam giác OAB là 5 (đvdt)

Bài 2.67 trang 106 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;-1)

a)Tìm tọa độ điểm B đối xứng với A qua gốc tọa độ O;

b) Tìm tọa độ điểm C có tung độ bằng 2 sao cho tam giác ABC vuông ở C.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 2.36)

a) Ta có A(2;-1), tọa độ điểm B đối xứng với A qua O là  B(-2;1)

b) Ta có: C(x;2), do đó:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {CB} = ( - 2 - x; - 1); \cr
& \overrightarrow {CA} = (2 - x; - 3) \cr} \)

Tam giác ABC vuông tại C nên 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0 \cr
& \Leftrightarrow ( - 2 - x)(2 - x) + 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow x = \pm 1 \cr} \)

Vậy ta có hai điểm C(1;2) và (-1;2).

Giaibaitap.me