Trang chủ
Loigiaihay.com 2024

Đã cập nhật bản mới với lời giải dễ hiểu và giải thêm nhiều sách

Xem chi tiết
Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Giải sách bài tập Toán 10

CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ VÀ ỨNG DỤNG

Giải bài tập trang 104 bài đề toán tổng hợp chương II Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10. Câu 2.55: Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng...

Bài 2.55 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hình bình hành ABCD có AB = 3a, AD = 5a, góc BAD bằng \({120^0}\)

a) Tìm các tích vô hướng sau: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD,} \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} \)

b) Tính độ dài BD và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Gợi ý làm bài

a) 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} = AB.AD.cos\widehat {DAB} \cr
& = 3a.5a.\cos {120^0} = - {{15{a^2}} \over 2} \cr} \)

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} = (\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} )(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} ) \cr
& = A{D^2} - A{B^2} = 16{a^2} \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& {\overrightarrow {BD} ^2} = {(\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} )^2} = A{D^2} + A{B^2} - 2\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \cr
& = 49{a^2} = > BD = 7a \cr} \)

ABCD là hình bình hành nên: BC = AD = 5a;

\(\widehat {BAD} + \widehat {ABC} = {180^0} =  > \widehat {ABC} = {60^0}\)

Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác ABC, ta được:

\(\eqalign{
& A{C^2} = B{C^2} + A{B^2} - 2BC.AB.\cos \widehat {ABC} \cr
& = 19{a^2} = > AC = a\sqrt {19} \cr} \)

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác ABC, ta được:

\(R = {{AC} \over {2\sin \widehat {ABC}}} = {{a\sqrt {19} } \over {2\sin {{60}^0}}} = a{{\sqrt {57} } \over 3}\)

 


Bài 2.56 trang 104 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A( - 5;6), B( - 4; - 1), C(4;3)

a) Tính tọa độ trực tâm H của tam giác ABC;

b) Tìm điểm M thuộc trục Oy sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right|\) ngắn nhất

Gợi ý làm bài

a) Gọi H(x; y). Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AH} = (x + 5;y - 6) \cr
& \overrightarrow {CH} = (x - 4;y - 3) \cr} \)

Và 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {BC} = (8;4) \cr
& \overrightarrow {AB} = (1; - 7) \cr} \)

H là trực tâm giác ABC 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
8(x + 5) + 4(y - 6) = 0 \hfill \cr
(x - 4) - 7(x - 3) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy H(-3;2)

b) Vì M thuộc trục Oy nên M(O;y).

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có tọa độ điểm G là \(\left( { - {5 \over 3};{8 \over 3}} \right)\) và \(d = \left| {\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC} } \right| = \left| {3\overrightarrow {MG} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|\)

d đạt giá trị nhỏ nhất \( \Leftrightarrow MG \bot Oy \Leftrightarrow y = {y_G} \Leftrightarrow y = {8 \over 3}\)

Vậy \(M(0;{8 \over 3})\)

 


Bài 2.57 trang 105 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(2;4); B(3;1); C( - 1;1)

a) Tìm tọa độ trọng tâm G, trực tâm H, tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC;

b) Chứng minh H, G, I thẳng hàng.

Gợi ý làm bài

A(2;4), B(3;1), C( - 1;1)

a) Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

\(\left\{ \matrix{
{x_G} = {{{x_A} + {x_B} + {x_C}} \over 3} = {4 \over 3} \hfill \cr
{y_G} = {{{y_A} + {y_B} + {y_C}} \over 3} = 2 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(G\left( {{4 \over 3};2} \right)\)

*Goi H(x; y), ta có:

\(\overrightarrow {AB}  = (1; - 3);\overrightarrow {BC}  = ( - 4;0)\)

\(\overrightarrow {CH}  = (x + 1;y - 1);\overrightarrow {AH}  = (x - 2;y - 4)\)

H là trực tâm tam giác ABC 

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
AH \bot BC \hfill \cr
CH \bot AB \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\overrightarrow {AH} .\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \cr
\overrightarrow {CH} .\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 4(x - 2) = 0 \hfill \cr
(x + 1) - 3(y - 1) = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 2 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right.\)

*Gọi I(x; y), I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC \( \Leftrightarrow IA = IB = IC\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x - 3)^2} + {(y - 1)^2} \hfill \cr
{(x - 2)^2} + {(y - 4)^2} = {(x + 1)^2} + {(y - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
y = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy: I(1; 2)

b) Ta có: \(\overrightarrow {IA}  = (1;0),\overrightarrow {IG}  = \left( {{1 \over 3};0} \right)\)

=>\(\overrightarrow {IH} ,\overrightarrow {IG} \) cùng phương nên H, G, I thẳng hàng.

 


Bài 2.58 trang 105 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 3a, tâm O; E là điểm trên cạnh BC và BE = a.

a) Tính cạnh OE và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác OBE;

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ACD. Tính tích vô hướng: \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC} \)

Gợi ý làm bài

a) Áp dụng định lí hàm số cô sin trong tam giác OBE ta được:

\(O{E^2} = O{B^2} + B{E^2} - 2OB.BE.\cos \widehat {OBE}\)

\(\eqalign{
& O{E^2} = {\left( {{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} + {a^2} - 2{{3a\sqrt 2 } \over 2}.a.\cos {45^0} = {{5{a^2}} \over 2} \cr
& = > OE = {{a\sqrt {10} } \over 2} \cr} \)

Áp dụng định lí hàm số sin trong tam giác OBE ta được:

\(\eqalign{
& {R_{(\Delta OBE)}} = {{OE} \over {2\sin \widehat {OBE}}} = {{{{a\sqrt {10} } \over 2}} \over {2\sin {{45}^0}}} \cr
& = {{{{a\sqrt {10} } \over 2}} \over {2{{\sqrt 2 } \over 2}}} = {{a\sqrt 5 } \over 2} \cr} \)

b) \(\overrightarrow {GA} .\overrightarrow {GC}  = (\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OA} )(\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OC} )\)

\( = \left( {\overrightarrow {GO}  + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {GO}  - \overrightarrow {OA} } \right) = {\overrightarrow {GO} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2}\)

\( = {\left( {{1 \over 3}.{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} - {\left( {{{3a\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} =  - 4{a^2}\)

Giaibaitap.me

Góp ý - Báo lỗi

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Giaibaitap.me

Bài giải mới nhất

Bài giải mới nhất các môn khác