Bài 23 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho phương trình 

$(m + 1){x^2} + (3m - 1)x + 2m - 2 = 0$

Xác định m để phương trình có hai nghiệm $x{}_1,{x_2}$ mà $x{}_1 + {x_2} = 3$

Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

Gợi ý làm bài 

Với  $$m \ne  - 1$$ ta có: $\Delta  = {(m - 3)^2} \ge 0$, do đó phương trình luôn luôn có hai nghiệm ${x_1},{x_2}$

Xét ${x_1} + {x_2} = 3 \Leftrightarrow {{1 - 3m} \over {m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m =  - {1 \over 3}$

Lúc đó phương trình đã cho có hai nghiệm x = -1 và x = 4.

Bài 24 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các phương trình

a) $\sqrt {5x + 3}  = 3x - 7$

b) $\sqrt {3{x^2} - 2x - 1}  = 3x + 1$

c) ${{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2$

d) $\sqrt {2{x^2} + 3x - 4}  = \sqrt {7x + 2}$

Gợi ý làm bài

a) Điều kiện của phương trình là $x \ge  - {3 \over 5}$. Ta có

$\sqrt {5x + 3}  = 3x - 7 =  > 5x + 3 = {(3x - 7)^2}$

$\Leftrightarrow 9{x^2} - 47x + 46 = 0$

Phương trình cuối có hai nghiệm ${x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}},{x_2} = {{47 - \sqrt {553} } \over {18}}$

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, tuy nhiên khi thay vào phương trình đã cho thì giá trị ${x_2}$ bị loại.

Đáp số: ${x_1} = {{47 + \sqrt {553} } \over {18}}$

b) Điều kiện của phương trình là $3{x^2} - 2x - 1 \ge 0$. Ta có:

$\sqrt {3{x^2} - 2x - 1}  = 3x + 1 =  > 3{x^2} - 2x - 1 = {(3x + 1)^2}$

$\Leftrightarrow 6{x^2} + 8x + 2 = 0$

Phương trình cuối có hai nghiệm ${x_1} =  - {1 \over 3},{x_2} =  - 1$

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình, nhưng thử vào phương trình đã cho thì giá trị ${x_2} =  - 1$ bị loại.

Đáp số: $x =  - {1 \over 3}$

c)Điều kiện của phương trình là $4{x^2} + 7x - 2 \ge 0$ và $x \ne  - 2$. Ta có:

${{\sqrt {4{x^2} + 7x - 2} } \over {x + 2}} = \sqrt 2  =  > 4{x^2} + 7x - 2 = 2{(x + 2)^2}$

$\Leftrightarrow 2{x^2} - x - 10 = 0$

Phương trình cuối có hai nghiệm là ${x_1} = {5 \over 2},{x_2} =  - 2$

Chỉ có giá trị ${x_1} = {5 \over 2},{x_2} =  - 2$

Chỉ có giá trị ${x_1} = {5 \over 2}$ thỏa mãn điều kiện và nghiệm đúng phương trình đã cho.

Đáp số: $x = {5 \over 2}$

d)Điều kiện của phương trình là $2{x^2} + 3x - 4 \ge 0$ và $7x + 2 \ge 0$. Ta có:

$\sqrt {2{x^2} + 3x - 4}  = \sqrt {7x + 2}  =  > 2{x^2} + 3x - 4 = 7x + 2 \Leftrightarrow 2{x^2} - 4x - 6 = 0$

Phương trình cuối có hai nghiệm ${x_1} = 3,{x_2} =  - 1$, nhưng giá trị ${x_2} =  - 1$ không thỏa mãn điều kiện của phương tình nên bị loại, giá trị ${x_1} = 3$ nghiệm đúng phương trình đã cho.

Vậy nghiệm của phương trình đa cho là x = 3.

Bài 25 trang 77 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m.

a) $|2x - 5m| = 2x - 3m$

b) $|3x + 4m| = |4x - 7m|$

c) $$(m + 1){x^2} + (2m - 3)x + m + 2 = 0$

d) ${{{x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m$

Gợi ý làm bài

a) Với $x \ge {{5m} \over 2}$ phương trình đã cho trở thành

$2x - 5m = 2x - 3m \Leftrightarrow 2m = 0 \Leftrightarrow m = 0$

Vậy với m = 0 thì mọi $x \ge 0$ đều là nghiệm của phương trình.

Với $x < {{5m} \over 2}$ phương trình đã cho trở thành

$- 2x + 5m = 2x - 3m$

$\Leftrightarrow 4x = 8m \Leftrightarrow x = 2m$

Vì $$x < {{5m} \over 2}$ nên $2m < {{5m} \over 2} \Leftrightarrow m > 0$.

Kết luận:

Với m > 0 phương trình có nghiệm là x = 2m.

Với m = 0 phương trình có nghiệm là mọi số thực không âm.

Với m < 0 phương trình vô nghiệm.

b) Ta có:

$\eqalign{ & |3x + 4m| = |4x - 7m| \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 3x + 4m = 4x - 7m \hfill \cr 3x + 4m = - 4x + 7m \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 11m \hfill \cr x = {{3m} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 11m và $$x = {{3m} \over 7}$ với mọi giá trị của m.

c) Với m = -1 phương trình đã cho trở thành

$- 5x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 5}$$

Với $m \ne  - 1$ phương trình đã cho là một phương trình bậc hai, có biệt thức $\Delta  =  - 24m + 1.$

Nếu $m \le {1 \over {24}}$ thì $\Delta  \ge 0$ phương trình có hai nghiệm

${x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2(m + 1)}}$

Kết luận:

Với $x > {1 \over {24}}$ phương trình vô nghiệm.

Với $x \le {1 \over {24}}$ và $m \ne  - 1$ phương trình có hai nghiệm.

${x_{1,2}} = {{2m - 3 \pm \sqrt {1 - 24m} } \over {2(m + 1)}}$

Với m = -1 phương trình có nghiệm là $x = {1 \over 5}$

d) Điều kiện của phương trình là: $x \ne 3.$ Ta có:

${{{x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4}} \over {x - 3}} = 2x + m =  > {x^2} - (m + 1)x - {{21} \over 4} = (x - 3)(2x + m)$

$\Leftrightarrow {x^2} + (2m - 5)x + {{21} \over 4} - 3m = 0$

Phương trình cuối luôn có nghiệm ${x_1} = {3 \over 2},{x_2} = {{7 - 4m} \over 2}$

Ta có: ${{7 - 4m} \over 2} \ne 3 \Leftrightarrow m \ne {1 \over 4}$

Kết luận

Với $m \ne {1 \over 4}$ phương trình đã cho có hai nghiệm và $x = {3 \over 2}$ và $x = {{7 - 4m} \over 2}$

Với $m = {1 \over 4}$ phương trình có một nghiệm $x = {3 \over 2}$

Bài 26 trang 78 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải phương trình 

$\root 3 \of {{1 \over 2} + x}  + \sqrt {{1 \over 2} - x}  = 1$

Gợi ý làm bài

Đặt $u = \root 3 \of {{1 \over 2} + x} ,v = \sqrt {{1 \over 2} - x}$   điều kiện $v \ge 0$

Ta được hệ phương trình

$\left\{ \matrix{ u + v = 1 \hfill \cr {u^3} + {v^2} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ v = 1 - u(1) \hfill \cr {u^3} + {v^2} - 2u = 0(2) \hfill \cr} \right.$

(2) $\Leftrightarrow u({u^2} + u - 2) = 0$

Phương trình cuối có 3 nghiệm ${u_1} = 0,{u_2} = 1,{u_3} = 2$

+Với u = 0 ta có v = 1 => $x =  - {1 \over 2}$

+Với u =1 ta có v = 0  => $x = {1 \over 2}$

+Với u = -2 ta có v = 3 => $x =  - {{17} \over 2}$

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm 

$x =  - {1 \over 2}$, $x = {1 \over 2}$ và $x =  - {{17} \over 2}$

Giaibaitap.me