Bài 21 trang 218 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Rút gọn

a) \({{{{\sin }^2}2\alpha  + 4{{\sin }^4}\alpha  - 4{{\sin }^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \over {4 - {{\sin }^2}2\alpha  - 4{{\sin }^2}\alpha }}\)

b) \(3 - 4\cos 2a + \cos 4a\)

c) \(\cos 4a - \sin 4a\cot 2a\)

d) \({{{\mathop{\rm cota}\nolimits}  + \tan a} \over {1 + \tan 2a\tan a}}\)

Gợi ý làm bài

a) 

\(\eqalign{
& {{{{\sin }^2}2\alpha + 4{{\sin }^2}4\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha } \over {4 - {{\sin }^2}2\alpha - 4{{\sin }^2}\alpha }} \cr
& = {{{{\sin }^2}2\alpha + 4{{\sin }^4}\alpha - {{\sin }^2}2\alpha } \over {4{{\cos }^2}a - 4{{\sin }^2}2\alpha {{\cos }^2}\alpha }} \cr} \)

\( = {{4{{\sin }^2}\alpha } \over {4co{s^2}\alpha (1 - {{\sin }^2}\alpha )}} = {\tan ^4}\alpha \)

b) 

\(\eqalign{
& 3 - 4\cos 2a + \cos 4a \cr
& = 3 - 4(1 - 2{\sin ^2}a) + (1 - 2{\sin ^2}2a) \cr} \)

\(\eqalign{
& = 8{\sin ^2}a - 8{\sin ^2}a{\cos ^2}a \cr
& = 8{\sin ^2}a(1 - {\cos ^2}a) \cr} \)

\( = 8{\sin ^4}a\)

c) 

\(\eqalign{
& \cos 4a - \sin 4a\cot 2a \cr
& = 2{\cos ^2}2a - 1 - 2\sin 2a\cos 2a{{\cos 2a} \over {\sin 2a}} = - 1 \cr} \)

d) \({{\cot a + \tan a} \over {1 + \tan 2a\tan a}} = {{{{\cos a} \over {\sin a}} + {{\sin a} \over {\cos a}}} \over {1 + {{\sin 2a\sin a} \over {\cos 2a\cos a}}}}\)

\( = {1 \over {\sin a\cos a}}.{{\cos acos2a} \over {\cos 2a\cos a + \sin 2a\sin a}}\)

\( = {2 \over {\sin 2a}}.{{\cos acos2a} \over {\cos (2a - a)}} = 2\cot 2a\)

Bài 22 trang 218 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính

a) \(\cos {67^0}30'\) và \({\rm{cos7}}{{\rm{5}}^0}\)

b) \({{\cos {{15}^0} + 1} \over {2\cot {{15}^0}}}\)

c) \(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0}\)

d) \(\cos {\pi  \over 7}\cos {{4\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7}\)

Gợi ý làm bài

a) \(\cos {67^0}30' = \cos {{{{135}^0}} \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos {{135}^0}} \over 2}} \)

\( = \sqrt {{{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}\)

\(\cos {75^0} = \cos ({45^0} + {30^0}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3  - 1)\)

b) 

\(\eqalign{
& \cos {30^0} = {1 \over {\tan {{2.15}^0}}} \cr
& = {{1 - {{\tan }^2}{{15}^0}} \over {2\tan {{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {2\cot {{15}^0}}} \cr} \)

Đặt \(x = \cos {15^0}\) và chú ý rằng \(\cos {30^0} = \sqrt 3 \) ta có

\(\sqrt 3  = {{{x^2} - 1} \over {2x}} \Leftrightarrow {x^2} - 2\sqrt 3  - 1 = 0\)

Giải phương trình trên ta được \(x = 2 + \sqrt 3 \) (nghiệm \(x = \sqrt 3  - 2\) loại vì \(\cot {15^0} > 0\)). Do đó

\(\eqalign{
& {{{{\cot }^2}{{15}^0} + 1} \over {2\cot {{15}^0}}} = {{2 + \sqrt 3 + 1} \over {2(2 + \sqrt 3 )}} \cr
& = {{3 + \sqrt 3 } \over {2(2 + \sqrt 3 )}} = {{3 - \sqrt 3 } \over 2} \cr} \)

c) Ta có:

\(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0} =  - \tan {20^0}\tan {40^0}\tan {100^0}\)

\( =  - \tan ({60^0} - {40^0})\tan {40^0}\tan ({60^0} + {40^0})\)

\( =  - {{\tan {{60}^0} - \tan {{40}^0}} \over {1 + \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\tan {40^0}{{\tan {{60}^0} + \tan {{40}^0}} \over {1 - \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\)

\( =  - {{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}} \over {1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}\tan {40^0} =  - \tan {120^0} = \sqrt 3 \)

d) Hướng dẫn: Nhân thêm \(\sin {\pi  \over 7}\)

Đáp số: \({1 \over 8}\)

Bài 23 trang 218 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng

a) \({{1 - \cos 2a + \sin 2a} \over {1 + \cos 2a + \sin 2a}} = \tan a\)

b) \({{\cot a + {\mathop{\rm tana}\nolimits} } \over {1 + \tan 2\tan a}} = 2\cot 2a\)

c) \({{\sqrt 2  - {\mathop{\rm sina}\nolimits}  - \cos a} \over {\sin a - \cos a}} =  - \tan \left( {{a \over 2} - {\pi  \over 8}} \right)\)

d) \(\cos 2a - \cos 3a - \cos 4a + \cos 5a =  - 4\sin {a \over 2}\sin a\cos {{7a} \over 2}\)

Gợi ý làm bài

a)

\(\eqalign{
& {{1 - \cos 2a + \sin 2a} \over {1 + \cos 2a + \sin 2a}} \cr
& = {{2{{\sin }^2}a + 2\sin a\cos a} \over {1 + 2{{\cos }^2}a - 1 + 2\sin a\cos a}} \cr} \)

\( = {{2\sin a(\sin a + {\mathop{\rm cosa}\nolimits} )} \over {2\cos a(\sin a + \cos a)}} = \tan a\)

b) \({{\cot a + \tan a} \over {1 + \tan 2a\tan a}} = {{{1 \over {\tan a}} + \tan a} \over {1 + {{2tana} \over {1 - {{\tan }^2}a}}}}\)

\( = {{1 + {{\tan }^2}a} \over {\tan a}}:{{1 - {{\tan }^2}a + 2{{\tan }^2}a} \over {1 - {{\tan }^2}a}}\)

\( = {{1 - {{\tan }^2}a} \over {\tan a}} = 2\cot 2a\)

c) \({{\sqrt 2  - \sin a - \cos a} \over {\sin a - \cos a}} = {{\sqrt 2  - \sqrt 2 sin(a + {\pi  \over 4})} \over {\sqrt 2 sin(a - {\pi  \over 4})}}\)

\( = {{1 - \sin (a + {\pi  \over 4})} \over {sin(a - {\pi  \over 4})}} = {{sin{\pi  \over 2} - sin(a + {\pi  \over 4})} \over {sin(a - {\pi  \over 4})}}\)

\(\eqalign{
& = {{\cos \left( {{a \over 2} + {{3\pi } \over 8}} \right)sin\left( {{\pi \over 8} - {a \over 2}} \right)} \over {2sin\left( {{a \over 2} - {\pi \over 8}} \right)\cos \left( {{a \over 2} - {\pi \over 8}} \right)}} \cr
& = {{sin\left( { - {a \over 2} + {\pi \over 8}} \right)sin\left( {{\pi \over 8} - {a \over 2}} \right)} \over {sin\left( {{a \over 2} - {\pi \over 8}} \right)sin\left( {{a \over 2} - {\pi \over 8}} \right)}} \cr} \)

\( = {{ - sin\left( {{a \over 2} - {\pi  \over 8}} \right)} \over {\cos \left( {{a \over 2} - {\pi  \over 8}} \right)}} =  - \tan \left( {{a \over 2} - {\pi  \over 8}} \right)\)

d) 

\(\eqalign{
& \cos 2a - \cos 3a - \cos 4a + \cos 5a \cr
& = (\cos 2a - \cos 4a) + (\cos 5a - \cos 3a) \cr} \)

\(\eqalign{
& = - 2\sin 3a\sin ( - a) - 2\sin 4a\sin a \cr
& = 2\sin a(\sin 3a - \sin 4a) \cr} \)

\(\eqalign{
& = 4\sin a\cos {{7a} \over 2}\sin \left( { - {a \over 2}} \right) \cr
& = - 4\sin {a \over 2}\sin a\cos {{7a} \over 2} \cr} \)

Bài 24 trang 218 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Rút gọn

a) \({{1 + \cos a} \over {1 - \cos a}}{\tan ^2}{a \over 2} - {\cos ^2}a\)

b) \(4{\cos ^4}a - 2\cos 2a - {1 \over 2}\cos 4a\)

c) \({\sin ^2}a\left( {1 + {1 \over {\sin a}} + \cot a} \right)\left( {1 - {1 \over {\sin a}} + \cot a} \right)\)

d) \({{\cos 2a} \over {{{\cos }^4}a - {{\sin }^4}a}} - {{{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a} \over {1 - {1 \over 2}{{\sin }^2}2a}}\)

Gợi ý làm bài

a) 

\(\eqalign{
& {{1 + \cos a} \over {1 - \cos a}}{\tan ^2}{a \over 2} - {\cos ^2}a \cr
& = {{2{{\cos }^2}{a \over 2}} \over {2{{\sin }^2}{a \over 2}}}{\tan ^2}{a \over 2} - {\cos ^2}a = {\sin ^2}a \cr} \)

b) \(4{\cos ^4}a - 2\cos 2a - {1 \over 2}\cos 4a\)

\( = 4{\cos ^4}a - 2(2{\cos ^2}a - 1) - {1 \over 2}(2{\cos ^2}2a - 1)\)

\( = 4{\cos ^4}a - 4{\cos ^2}a + 2 - {(2{\cos ^2}a - 1)^2} + {1 \over 2}\)

\( = 4{\cos ^4}a - 4{\cos ^2}a + {5 \over 2} - 4{\cos ^4}a + 4{\cos ^2}a - 1 = {3 \over 2}\)

c) \({\sin ^2}a(1 + {1 \over {\sin a}} + \cot a)(1 - {1 \over {\sin a}} + \cot a)\)

\(\eqalign{
& = {\sin ^2}a\left[ {{{(1 + cota)}^2} - {1 \over {{{\sin }^2}a}}} \right] \cr
& = {\sin ^2}a(1 + {\cot ^2}a + 2\cot a) - 1 \cr} \)

\(\eqalign{
& = {\sin ^2}a + {\cos ^2}a + 2{\sin ^2}a{{\cos a} \over {\sin a}} - 1 \cr
& = \sin 2a \cr} \)

d) \({{\cos 2a} \over {{{\cos }^4}a - {{\sin }^4}a}} - {{{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a} \over {1 - {1 \over 2}{{\sin }^2}2a}}\)

\(= {{{{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a} \over {({{\cos }^2}a + {{\sin }^2}a)({{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a)}} - {{{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a} \over {1 - {1 \over 2}{{(2\sin a\cos a)}^2}}}\)

\( = 1 - {{{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a} \over {{{\sin }^2}a - si{n^2}aco{s^2}a + {{\cos }^2}a - {{\sin }^2}a{{\cos }^2}a}}\)

\( = 1 - {{{{\cos }^4}a + {{\sin }^4}a} \over {{{\sin }^2}a(1 - co{s^2}a) + {{\cos }^2}a(1 - {{\sin }^2}a)}} = 0\)

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