Câu 1 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng, nếu \(a > b\) và \(ab > 0\); \({1 \over a} < {1 \over b}\)

Giải

Ta có:

\({1 \over a} < {1 \over b} \Leftrightarrow {1 \over b} - {1 \over a} > 0 \Leftrightarrow {{a - b} \over {ab}} > 0\) ( đúng vì \(a – b > 0\) và \(ab > 0\))

Vậy \({1 \over a} < {1 \over b}\)

Câu 2 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng nửa chu vi của tam giác lớn hơn mỗi cạnh của tam giác đó.

Đáp án

Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác

Nửa chu vi của tam giác đó là \(p = {{a + b + c} \over 2}\)

Ta có:

\(p - a = {{a + b + c - 2a} \over 2} = {{b + c - a} \over 2}\)

Vì \(b + c > a\) nên \(p > a\)

Chứng minh tương tự, ta có: \(p > b\) và \(p > c\)

Câu 3 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Chứng minh rằng a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca với mọi số thực a, b, c.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Giải

Ta có:

a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

⇔ a² + b² + c² – ab – bc – ca ≥ 0

⇔ 2a² + 2b² + 2c² - 2ab - 2bc - 2ca ≥ 0

⇔ (a - b)² + (b - c)² + (c - a)² ≥ 0 (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a – b = b – c = c – a = 0, tức là a = b = c

Câu 4 trang 109 SGK Đại số 10 nâng cao

Hãy so sánh các kết quả sau đây:

a) \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005} \) và \(\sqrt {2002}  + \sqrt {2003} \) (không dùng bảng số hoặc máy tính)

b) \(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4} \) và \(\sqrt a  + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\)

Đáp án

a) Giả sử: \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005} \, < \sqrt {2002}  + \sqrt {2003} \,\,\,\,\,(1)\) 

Ta có:

\(\eqalign{
& (1) \Leftrightarrow \,{(\sqrt {2000} + \sqrt {2005} )^2}\, < {(\sqrt {2002} + \sqrt {2003} \,)^2} \cr
& \Leftrightarrow 4005 + 2\sqrt {2000.2005} < 4005 + 2\sqrt {2002.2003} \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2002.2003 \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < (2000 + 2)(2005 - 2) \cr
& \Leftrightarrow 2000.2005 < 2000.2005 + 6 \cr} \) 

Ta thấy kết quả suy ra luôn đúng.

 Do đó: \(\sqrt {2000}  + \sqrt {2005}  < \sqrt {2002}  + \sqrt {2003} \)

b) Giả sử:  

\(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4} ≤  \sqrt a  + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\) (2)

Ta có:

\(\eqalign{
& (2) \Leftrightarrow {(\sqrt {a + 2} + \sqrt {a + 4} )^2} \le {(\sqrt a + \sqrt {a + 6} )^2} \cr
& \Leftrightarrow 2a + 6 + 2\sqrt {(a + 2)(a + 4)} \le 2a \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;+ 6 + 2\sqrt {a(a + 6)} \cr
& \Leftrightarrow (a + 2)(a + 4) \le a(a + 6) \cr
& \Leftrightarrow {a^2} + 6a + 8 \le {a^2} + 6a \cr
& \Leftrightarrow 8 \le 0 \cr} \)

Ta thấy : \(8 ≤ 0\) là vô lý

Vậy  \(\sqrt {a + 2}  + \sqrt {a + 4}  > \sqrt a  + \sqrt {a + 6} \,\,(a \ge 0)\)

Giaibaitap.me