Câu 70 trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có \(\widehat C = {45^0}\).

a) Tính diện tích hình quạt tròn AOB (ứng với cung nhỏ AB)

b) Tính diện tích hình viên phân AmB (ứng với cung nhỏ AB)

Giải

a) \(\widehat C = {45^0}\)  (gt)

\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AmB}\) \( = {90^0}\)

Diện tích hình quạt AOB là:

\(S = {{\pi {R^2}.90} \over {360}} = {{\pi {R^2}} \over 4}\) (đơn vị diện tích)

b) \(\widehat {AOB} = \) sđ \(\overparen{AmB}\) \( = {90^0}\)

\( \Rightarrow OA \bot OB\)

Diện tích tam giác OAB là: \(S = {1 \over 2}OA.OB = {{{R^2}} \over 2}\)

Diện tích hình viên phân AmB là:

S_{quạt AOB} – S _AOB  = \({{\pi {R^2}} \over 4} - {{{R^2}} \over 2} = {{{R^2}\left( {\pi  - 2} \right)} \over 4}\) (đơn vị diện tích)

Câu 71 trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Trong một tam giác đều ABC (h.13), vẽ những cung tròn đi qua tâm của tam giác và từng cặp đỉnh của nó. Cho biết cạnh tam giác bằng a, tính diện tích hình hoa thị gạch sọc.

Giải

Diện tích hình hoa thị bằng tổng diện tích 3 hình viên phân trừ diện tích tam giác đều ABC.

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC

\( \Rightarrow OA = OB = OC\)

Vì ∆ABC đều nên AO, BO, CO là phân giác của các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C\)

\(\widehat {OAC} = \widehat {OCA} = {{{{60}^0}} \over 2} = {30^0}\)

\(\widehat {AOC} = {180^0} - \left( {{{30}^0} + {{30}^0}} \right) = {120^0}\)

\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AOC}\) là tam giác đều nội tiếp trong đường tròn (O’; R)

Trong tam giác O’HA có \(\widehat {O'HA} = {90^0}\), \(\widehat {HO'A} = {60^0}\)

AH = R.sin \(\widehat {HO'A} = R\). sin 60⁰ = \({{R\sqrt 3 } \over 2}\)

AC = 2AH = \(R\sqrt 3 \)

\( \Rightarrow R = {{AC} \over {\sqrt 3 }} = {a \over {\sqrt 3 }} = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)

S_quạt = \({{\pi {{\left( {{{a\sqrt 3 } \over 3}} \right)}^2}.120} \over {360}}\)

            = \({{\pi {{{a^2}} \over 3}} \over 3} = {{\pi {a^2}} \over 9}\) (đơn vị diện tích)

∆O'HA có \(\widehat {O'HA} = {90^0}\); \(\widehat {HO'A} = {60^0}\)

O’A = \(R.\cos {60^0} = {{a\sqrt 3 } \over 3}.{1 \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)

S_∆O'CA = \({1 \over 2}O'H.AC = {1 \over 2}.{{a\sqrt 3 } \over 6}.a = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) (đơn vị diện tích)

S_{viên phân}  = S_quạt – S_∆O'CA = \({{\pi {a^2}} \over 9} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}}\)

Diện tích tam giác đều ABC cạnh a: S_ABC  = \({{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\) (đơn vị diện tích)

Diện tích hình hoa thị là:

S = 3S­_{viên phân}  - S_ABC  = \(3.{{4\pi {R^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {36}} - {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\)

                                   = \({{4\pi {a^2} - 3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} - {{3{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)

                                    = \({{4\pi {a^2} - 6{a^2}\sqrt 3 } \over {12}} = {{{a^2}} \over 6}\left( {2\pi  - 3\sqrt 3 } \right)\)

Câu 72 trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC vuông ở A và đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AB. Biết BH = 2cm và HC = 6cm. Tính:

a) Diện tích hình tròn (O).

b) Tổng diện tích hai hình viên phân AmH và BnH (ứng với các cung nhỏ).

c) Diện tích hình quạt tròn AOH (ứng với cung nhỏ AH).

Giải

a) ∆ABC có \(\widehat A = {90^0}\)

Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

\(A{B^2} = BH.BC \Rightarrow A{B^2} = 2.\left( {2 + 6} \right) = 16\)

AB = 4 (cm)

Diện tích hình tròn tâm O là:

\(S = \pi {\left( {{{AB} \over 2}} \right)^2} = \pi {\left( {{4 \over 2}} \right)^2} = 4\pi \) (cm²)

b) Tổng diện  tích hai hình viên phân AmH

Và BnH bằng diện tích nửa hình tròn tâm O trừ diện tích ∆AHB

Trong tam giác vuông ABC ta có:

\(A{H^2} = HB.HC = 2.6 = 12\)

AH = \(2\sqrt 3 \) (cm)

S_AHB = \({1 \over 2}AH.BH = {1 \over 2}.2.2\sqrt 3  = 2\sqrt 3 \) (cm²)

Tổng diện tích hai hình viên phân là:

\(S = 2\pi  - 2\sqrt 3  = 2\left( {\pi  - \sqrt 3 } \right)\) (cm²)

c) ∆BOH có OB = OH = BH = 2 cm

\( \Rightarrow \Delta BOH\) đều

\( \Rightarrow \widehat B = {60^0}\)

\(\widehat B = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AmH}\) (tính chất góc nội tiếp)

\( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AmH}\) \( = 2\widehat B = {120^0}\)

S_{quạt AOH}  = \({{\pi {{.2}^2}.120} \over {360}} = {{4\pi } \over 3}\)  (cm²)

Giaibaitap.me