Câu 28 trang 104 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Các điểm \({A_1},{A_2},....,{A_{19}},{A_{20}}\) được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn (O) và chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau. Chứng minh rằng dây \({A_1}{A_8}\) vuông góc với dây \({A_3}{A_{16}}\).

Giải

Đường tròn (O) được chia thành 20 cung bằng nhau nên số đo mỗi cung bằng

 360⁰: 20 = 18⁰.

Gọi giao điểm của A₁A₈ và A₃A₁₆ là I.

Ta có:  sđ \(\overparen{{A_1}{A_3}}\) \( = {2.18^0} = {36^0}\)

\(\overparen{{A_8}{A_16}}\) \( = {8.18^0} = {144^0}\)

Ta có: \(\widehat {{A_1}I{A_3}} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{{A_1}{A_3}}\) + sđ \(\overparen{{A_8}{A_16}}\) (góc có đỉnh ở trong đường tròn (O))

\( \Rightarrow \) \(\widehat {{A_1}I{A_3}} = {{36^\circ  + 144^\circ } \over 2} = 90^\circ \)

\( \Rightarrow \) A₁A₈⊥ A_3­A₁₆

Câu 29 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Cho tam giác ABC vuông góc ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC ở D. Tiếp tuyến ở D cắt AC ở P. Chứng minh PD = PC.

Giải

Trong đường tròn (O) ta có \(\widehat C\) là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

\(\widehat C = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{AmB}\) - sđ \(\overparen{AD}\)) (tính chất góc có đỉnh ở ngoài đường tròn)

 mà sđ \(\overparen{AmB}\) = sđ \(\overparen{ADB}\) = 180⁰

\(\widehat C = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{ADB}\) - sđ \(\overparen{AD}\)) = \( {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{AD}\) + sđ \(\overparen{DB}\) - sđ \(\overparen{AD}\))= \( {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{BD}\)                        (1)

\(\widehat {CDP} = \widehat {BDx}\) (đối đỉnh)                                      (2)

\(\widehat {BDx} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{BD}\) (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)   (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat C = \widehat {CDP} \Rightarrow \Delta PCD\) cân tại P. Vậy PD = PC

Câu 30 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

Hai dây cung AB và CD kéo dài cắt nhau tại điểm E ở ngoài đường tròn (O) (B nằm giữa A và E, C nằm giữa D và E). Cho biết \(\widehat {CDE}\) = 75 ⁰, \(\widehat {CED} = {22^0}\), \(\widehat {AOD} = {144^0}\).

Chứng minh \(\widehat {AOB} = \widehat {BAC}\).

Giải

Trong đường tròn (O) ta có  là góc có đỉnh ở ngoài đường tròn.

\(\widehat E = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{AD}\) - sđ \(\overparen{BC}\))

sđ \(\overparen{AD}\) = \(\widehat {AOD} = 144^\circ \)

\( \Rightarrow \) 22º = \({{144^\circ  - sđ \overparen{BC}} \over 2}\)

Þ  sđ \(\overparen{BC}\)= 144º - 2. 22º = 100º

\(\widehat {BAC} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{BC}\)(tính chất nội tiếp)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {BAC} = {1 \over 2}.100^\circ  = 50^\circ \)

Trong ∆ABC ta có \(\widehat {CBE}\) là góc ngoài tại đỉnh B.

\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBE} = \widehat {BAC} + \widehat {ACB}\) (tính chất góc ngoài của tam giác)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {ACB} = \widehat {CBE} - \widehat {BAC} = 75^\circ  - 50^\circ  = 25^\circ \)

\(\widehat {ACB} = {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (hệ quả góc nội tiếp)

\(\widehat {AOB} = 2.\widehat {ACB} = 50^\circ \)

Vậy \(\widehat {AOB} = \widehat {BAC} = 50^\circ \)

Câu 31 trang 105 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2

A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D.

Tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) cắt đường tròn ở M, tia phân giác của \(\widehat D\) cắt AM ở I. Chứng minh DI \( \bot AM\).

Giải

\(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\) (vì AM là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\))

\( \Rightarrow \widehat {BM} =\) \(\overparen{CM}\)                                     (1)

Ta có: \(\widehat {DAM} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{ACM}\) (góc giữa tia tiếp tuyến và dây cung)

Hay \(\widehat {DAM} = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{AC}\) + sđ \(\overparen{CM}\) )     (2)

Gọi N là giao điểm của AM và BC.

Ta có: \(\widehat {ANC}\) là góc có đỉnh ở trong đường tròn (O).

\( \Rightarrow \) \(\widehat {ANC} = {1 \over 2}\) (sđ \(\overparen{AC}\) + sđ \(\overparen{BM}\)         (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {DAM} = \widehat {ANC}\) hay \(\widehat {DAN} = \widehat {AND}\)

Suy ra: ∆DAN cân tại D có DI là tia phân giác nên suy ra DI là đường cao

\( \Rightarrow \) DI ⊥ AN hay DI ⊥ AM

Giaibaitap.me