a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d.
c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

Giải

a) Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;3;6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)\). Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 2; - 4} \right)\,;\,\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {1;2; - 1} \right) \cr
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 2 - 4 + 4 = 2 \ne 0. \cr} \)

Vậy d và d’ chéo nhau.
Ta có \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = 1 + 0 - 1 = 0 \Rightarrow d \bot d'.\)
b) Mp(P) đi qua \(M\left( {0;3;6} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) nên ta có phương trình:

\(x - \left( {y - 3} \right) - \left( {z - 6} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y - z + 9 = 0\)

Mp(Q) đi qua \(M'\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(\left( {x - 2} \right) + z - 2 = 0 \Leftrightarrow x + z - 4 = 0\)
c) Đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) nên

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x - y - z + 9 = 0 \hfill \cr
x + z - 4 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Cho x = 0 ta có y = 5 và z = 4. Suy ra A(0; 5; 4)\( \in \Delta \) , \(\Delta \) có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \)

\(= \left( {\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \)

\(= \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Phương trình chính tắc của \(\Delta :\,{x \over { - 1}} = {{y - 5} \over { - 2}} = {{z - 4} \over 1}\)

Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:
\(\left( P \right):2x - y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + 2z - 1 = 0\).
a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.
b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\), song song với cả (P) và (Q).
c) Viết phương trình mp(R) đi qua \(B\left( { - 1;3;4} \right)\), vuông góc với cả (P) và (Q).

Giải

a) Hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1;2} \right)\). Vì hai vectơ đó không cùng phương nên (P) và (Q) cắt nhau.
Gọi \(\varphi\)  là góc giữa hai mặt phẳng đó thì:
\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {2 - 1 + 2} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = {1 \over 2}\).
Vậy \(\varphi  = {60^0}.\)
b) Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) vuông góc với cả \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \).

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3; - 3;3} \right)\) nên ta có thể lấy \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ngoài ra điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) không nằm trên cả (P) và (Q) nên đường thẳng d cần tìm có phương trình: \({{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {{z + 3} \over { - 1}}\).
c) \(\left( R \right) \bot \left( P \right)\,\,;\,\,\left( R \right) \bot \left( Q \right) \Rightarrow \left( R \right) \bot d.\)
Suy ra (R) đi qua \(B\left( { - 1;3;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\) nên (R) có phương trình: \(x + 1 + y - 3 - \left( {z - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - z + 2 = 0.\)

Bài 9 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\)
a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu.
b) Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P): \(x + y - z + k = 0\).
c) Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp(ABC).
d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.
e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình \(4x + 3y - 12z - 1 = 0.\)

Giải

a) Ta có \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 14.\)
Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và có bán kính \(R = \sqrt {14} .\)
b) Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: \(d = {{\left| {1 + 2 - 3 + k} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = {{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }}.\)
i) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} < \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| < \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn.
ii) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} = \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| = \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) tiếp xúc với (S).
iii) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} > \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| > \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) không cắt (S).
c) (S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác O) thì A(2; 0; 0) ; B(0; 4; 0) ; C(0; 0; 6).

Phương trình mặt phẳng (ABC): \({x \over 2} + {y \over 4} + {z \over 6} = 1.\)
d) \(Mp\left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với (S) tại B thì \(\left( \alpha  \right)\) qua B và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IB}  = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right): - \left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 4} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \)

\(\Leftrightarrow x - 2y + 3z + 8 = 0.\)
e) Mp(Q’) // mp(Q) nên (Q’) có phương trình: \(4x + 3y - 12z + D = 0\,\,\left( {D \ne  - 1} \right).\)
(Q’) tiếp xúc với (S)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d\left( {I;\left( {Q'} \right)} \right) = R \Leftrightarrow {{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} \cr&= \sqrt {14} . \cr
& \Leftrightarrow {{\left| {D - 26} \right|} \over {13}} = \sqrt {14} \Leftrightarrow D = 26 \pm 13\sqrt {14} . \cr} \)

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: \(4x + 3y - 12z + 26 \pm 13\sqrt {14}  = 0.\)

Bài 10 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p.
a) Tìm sự liên hệ giữa m, n và p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh của hình lập phương.
b) Trong trường hợp mp(MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?

Giải

Ta chọn Oxyz sao cho O trùng A, các tia Ox, Oy và Oz lần lượt chứa các điểm B, D, A’. Khi đó ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {1;0;0} \right)\,\,;\,D\left( {0;1;0} \right)\,\,;\,\,A'\left( {0;0;1} \right)\,;\)

\(\,C'\left( {1;1;1} \right)\,\,;\,\,M\left( {0;0;m} \right)\,\,;\,\,N\left( {n;0;0} \right)\,\,;\,\,P\left( {0;p;0} \right)\)
a) Mặt phẳng (MNP) có phương trình đoạn chắn \({x \over n} + {y \over p} + {z \over m} = 1\) nên mặt phẳng đó đi qua đỉnh C’ khi và chỉ khi: \({1 \over n} + {1 \over p} + {1 \over m} = 1\,\,\left( * \right)\)

b) Thể tích tứ diện AMNP là \(V = {1 \over 6}AM.AN.AP = {1 \over 6}mnp\) (trong đó m, n, p là các số dương thỏa mãn điều kiện (*)). Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương, ta có:
\({1 \over n} + {1 \over p} + {1 \over m} \ge 3\root 3 \of {{1 \over {mnp}}}  \Leftrightarrow {1 \over {mnp}} \le {1 \over {{3^3}}} \Leftrightarrow mnp \ge 27.\)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({1 \over m} = {1 \over n} = {1 \over p} = {1 \over 3} \Leftrightarrow m = n = p = 3.\) Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của thể tích V là \({{27} \over 6}\), khi đó hình chóp AMNP là hình chóp đều.

Giaibaitap.me