Bài 20 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao
Một mặt cầu gọi là nội tiếp hình nón nếu nó tiếp xúc với mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đường sinh của hình nón. Khi đó hình nón được gọi là ngoại tiếp mặt cầu.
a) Chứng minh rằng mọi hình nón đều có một mặt cầu nội tiếp duy nhất.
b) Một hình nón có chiều cao \(h\) và bán kính đáy bằng \(r\). Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình nón đó.
Giải
a) Cho hình nón có đỉnh \(S\) và đáy là đường tròn \((O;r)\).
Tâm \(I\) của mặt cầu nội tiếp hình nón nằm trên \(SO\). Lấy điểm \(A\) cố định trên \((O;r)\) thì \(I\) là giao điểm của \(SO\) với đường phân giác trong của góc \(A\) của \(\Delta SAO\). \(I\) hoàn toàn xác định và là tâm mặt cầu nội tiếp hình nón, bán kính mặt cầu là \(R = IO\).
b) Ta có: \(SA = \sqrt {O{S^2} + O{A^2}} = \sqrt {{h^2} + {r^2}} \)
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\({{IO} \over {IS}} = {{OA} \over {SA}} \Rightarrow {{SA} \over {SI}} = {{OA} \over {IO}} = {{SA + OA} \over {SI + IO}}\)
\(\Rightarrow {{IO} \over {IO + IS}} = {{OA} \over {OA + SA}}\)
\(\Rightarrow {{IO} \over h} = {r \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\)
Vậy bán kính mặt cầu nội tiếp là \(R = IO = {{rh} \over {r + \sqrt {{h^2} + {r^2}} }}\)
Bài 21 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao
Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A, AB = c, AB = b\). Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng \(BC\).
Giải
Gọi \(AH\) là đường cao của tam giác \(ABC\).
Ta có: \({1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} = {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow A{H^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\)
Hai tam giác \(ABH\) và \(ACH\) khi quay quanh \(BC\) lần lượt tạo thành hai khối nón \({H_1},{H_2}\) có thể tích lần lượt là
\({V_1} = {1 \over 3}\pi A{H^2}BH\,\,,\,\,{V_2} = {1 \over 3}\pi A{H^2}CH\)
Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác \(ABC\) khi quay quanh \(BC\) là:
\(\eqalign{
& V = {V_1} + {V_2} = {1 \over 3}\pi A{H^2}BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}CH \cr&= {1 \over 3}\pi A{H^2}BC \cr
& \,\,\,\,\, = {1 \over 3}\pi {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\sqrt {{b^2} + {c^2}} = {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \cr} \)
Giaibaitap.me
Giải bải tập trang 63 ôn tập chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón SGK Hình học 12 Nâng cao. Câu 1: Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi quay quanh đường thẳng ...
Giải bài tập trang 63 ôn tập chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón SGK Hình học 12 Nâng cao. Câu 4: Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón N thì có bán kính bằng bao nhiêu?
Giải bài tập trắc nghiệm trang 63, 64, 65, 66, 67, 68 ôn tập chương II - Mặt cầu, mặt trụ, mặt nón SGK Hình học 12 Nâng cao. Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng...
Giải bài tập trang 80, 81 bài 1 hệ tọa độ trong không gian SGK Hình học 12 Nâng cao. Câu 1: Cho các vectơ...
