Bài 1 trang 80 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho các vectơ: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow i  - 2\overrightarrow j \,;\,\overrightarrow v  = 3\overrightarrow i  + 5\left( {\overrightarrow j  - \overrightarrow k } \right)\,;\,\)

\(\overrightarrow {\rm{w}}  = 2\overrightarrow i  - \overrightarrow k  + 3\overrightarrow j \)
a) Tìm toạ độ của các vectơ đó.
b) Tìm côsin của các góc \(\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right)\,;\,\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right)\,;\,\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right)\).
c) Tính các tích vô hướng \(\overrightarrow u .\overrightarrow v \,,\,\overrightarrow u .\overrightarrow {\rm{w}} \,,\,\overrightarrow v .\overrightarrow {\rm{w}} \).

Giải

a) \(\overrightarrow u  = \left( {1; - 2;0} \right)\,;\,\overrightarrow v  = \left( {3;5; - 5} \right)\,;\,\overrightarrow {\rm{w}}  = \left( {2;3; - 1} \right)\)
b) 

\(\eqalign{
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {3 \over {\sqrt {59} }} \cr 
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow j } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow j } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow j } \right|}} = {5 \over {\sqrt {59} }} \cr 
& \cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow k } \right) = {{\overrightarrow v .\overrightarrow k } \over {\left| {\overrightarrow v } \right|\left| {\overrightarrow k } \right|}} = {{ - 5} \over {\sqrt {59} }} \cr} \)

c) 

\(\eqalign{
& \overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.3 - 2.5 + 0\left( { - 5} \right) = - 7 \cr 
& \overrightarrow u .\overrightarrow w = 1.2 - 2.3 + 0\left( { - 1} \right) = - 4 \cr 
& \overrightarrow v .\overrightarrow w = 3.2 + 5.3 + (-5).(-1) = 26 \cr} \)

Bài 2 trang 80 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho vectơ \(\overrightarrow u \) tùy ý khác \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = 1\)

Giải

Giả sử \(\overrightarrow u  = \left( {x;y;z} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {x \over {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \)

\(\Rightarrow {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{{x^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\)
Tương tự: \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) = {{{y^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) và \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\).
Vậy \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) \)

\(= {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\)

Bài 3 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Tìm góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) trong mỗi trường hợp sau:

a) \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,1\,;\,1} \right)\,\,;\,\,\overrightarrow v  = \left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)\).
b) \(\overrightarrow u  = 3\overrightarrow i  + 4\overrightarrow j \,\,;\,\,\overrightarrow v  =  - 2\overrightarrow j  + 3\overrightarrow k \).

Giải

a) \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow v } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {2 \over {\sqrt 3 .\sqrt 6 }} = {{\sqrt 2 } \over 3}\)

b) Ta có: \(\overrightarrow u  = \left( {3;4;0} \right)\,;\,\overrightarrow v  = \left( {0; - 2;3} \right) \)

\(\Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow v } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow v } \right|}} = {{ - 8\sqrt {13} } \over {65}}\)

Bài 4 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Biết \(\left| {\overrightarrow u } \right| = 2\,;\,\left| {\overrightarrow v } \right| = 5\), góc giữa vectơ \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow v \) bằng \({{2\pi } \over 3}\). Tìm k để vectơ \(\overrightarrow p  = k\overrightarrow u  + 17\overrightarrow v \) vuông góc với vectơ \(\overrightarrow q  = 3\overrightarrow u  - \overrightarrow v \).

Giải

Ta có 

\(\eqalign{
& \cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \cos {{2\pi } \over 3} = - {1 \over 2}\,;\,\overrightarrow p \bot \overrightarrow q \cr 
& \overrightarrow p .\overrightarrow q = 0 \Leftrightarrow \left( {k\overrightarrow u + 17\overrightarrow v } \right)\left( {3\overrightarrow u - \overrightarrow v } \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3k{\left| {\overrightarrow u } \right|^2} - 17{\left| {\overrightarrow v } \right|^2} + \left( {51 - k} \right)\overrightarrow u .\overrightarrow v = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 3k.4 - 17.25 + \left( {51 - k} \right).2.5.\left( { - {1 \over 2}} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 17k - 680 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow k = 40 \cr} \)

Vậy với k = 40 thì \(\overrightarrow p  \bot \overrightarrow q \)

Giaibaitap.me