Bài 23 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 3.} \) Tính \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} dx\) trong các trường hợp sau:

a) f là hàm số lẻ;                                b) f là hàm số chẵn.

Giải

a) f là hàm số lẻ thì \(f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\)

đặt \(u =  - x \Rightarrow du =  - dx\)

 \(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_1^0 {f\left( { - u} \right)\left( { - du} \right)}  = \int\limits_0^1 { - f\left( u \right)du}\)

\(=  - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx =  - 3.}  \)

b) f là hàm số chẵn thì \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

đặt \(u =  - x \Rightarrow du =  - dx\) 

\(\int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx = } \int\limits_{  1}^0 {f\left( { - u} \right)\left( { - du} \right) = } \int\limits_0^1 {f\left( u \right)du = } 3.\)

Bài 24 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits_1^2 {{x^2}{e^{{x^3}}}dx;} \)           b) \(\int\limits_1^3 {{1 \over x}} {\left( {\ln x} \right)^2}dx;\)     

c) \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {1 + {x^2}} } dx;\)

\(d)\,\int\limits_0^1 {{x^2}{e^{3{x^3}}}dx;} \)           \(e)\,\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos x} \over {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}} dx.\)      

Giải

a) Đặt \(u = {x^3} \Rightarrow du = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {{du} \over 3}\) 

\(\int\limits_1^2 {{x^2}{e^{{x^3}}}dx = {1 \over 3}} \int\limits_1^8 {{e^u}du = \left. {{1 \over 3}{e^u}} \right|_1^8}  = {1 \over 3}\left( {{e^8} - e} \right)\)

b) Đặt \(u = \ln x \Rightarrow du = {{dx} \over x}\)

\(\int\limits_1^3 {{1 \over x}} {\left( {\ln x} \right)^2}dx = \int\limits_0^{\ln 3} {{u^2}du = \left. {{{{u^3}} \over 3}} \right|} _0^{\ln 3} = {1 \over 3}{\left( {\ln 3} \right)^3}\)

c) Đặt \(u = \sqrt {1 + {x^2}}  \Rightarrow {u^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow udu = xdx\)

\(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {1 + {x^2}} } dx = \int\limits_1^2 {u.udu = \left. {{{{u^3}} \over 3}} \right|} _1^2 = {7 \over 3}\)

d) Đặt \(u = 3{x^3} \Rightarrow du = 9{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {1 \over 9}du\)

\(\int\limits_0^1 {{x^2}{e^{3{x^3}}}dx = {1 \over 9}} \int\limits_0^3 {{e^u}du}  = \left. {{1 \over 9}{e^u}} \right|_0^3 = {1 \over 9}\left( {{e^3} - 1} \right)\)

e) Đặt \(u = 1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \Rightarrow du = \cos xdx\)

\(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\cos xdx} \over {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}}}}  = \int\limits_1^2 {{{du} \over u}}  = \left. {\ln \left| u \right|} \right|_1^2 = \ln 2\)

Bài 25 Trang 162 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Tính các tích phân sau :

a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {x\cos 2xdx;} \)         b) \(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx;\)       

c) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos xdx;} \)

\(d)\,\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx;} \)        \(e)\,\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx.} \)   

Giải

a) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \cos 2xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = {1 \over 2}\sin 2x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {x\cos 2xdx = \left. {{1 \over 2}x\sin 2x} \right|_0^{{\pi  \over 4}}}  - {1 \over 2}\int\limits_0^{{\pi  \over 4}} {\sin 2xdx} \) 

\( = {\pi  \over 8} + \left. {{1 \over 4}\cos 2x} \right|_0^{{\pi  \over 4}} = {\pi  \over 8} + {1 \over 4}\left( { - 1} \right) = {\pi  \over 8} - {1 \over 4}.\)                                 

b) Đặt \(u = \ln \left( {2 - x} \right) \Rightarrow du = {{ - 1} \over {2 - x}}dx\)

\(\int\limits_0^1 {{{\ln \left( {2 - x} \right)} \over {2 - x}}} dx =  - \int\limits_{\ln 2}^0 {udu}  = \int\limits_0^{\ln 2} {udu}  \)

\(= \left. {{{{u^2}} \over 2}} \right|_0^{\ln 2} = {1 \over 2}{\left( {\ln 2} \right)^2}\)

c) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = {x^2} \hfill \cr
dv = \cos xdx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = 2xdx \hfill \cr
v = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{x^2}\cos xdx = {x^2}} \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi  \over 2}} - 2\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\sin xdx}\)

\(= {{{\pi ^2} \over 4}}  - 2{I_1}\)

Với \({I_1} = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\sin xdx} \)

Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = x \hfill \cr
dv = \sin {\rm{x}}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = dx \hfill \cr
v = - \cos x \hfill \cr} \right.\)

Do đó \({I_1} =  - x\left. {\cos x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\cos xdx = \left. {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right|_0^{{\pi  \over 2}}}  = 1\)

Vậy \(I = {{{\pi ^2}} \over 4} - 2\)

d) Đặt \(u = \sqrt {{x^3} + 1}  \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1 \)

\(\Rightarrow 2udu = 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = {2 \over 3}udu\)

\(\int\limits_0^1 {{x^2}\sqrt {{x^3} + 1} dx}  = {2 \over 3}\int\limits_1^{\sqrt 2 } {{u^2}du = \left. {{{2{u^3}} \over 9}} \right|} _1^{\sqrt 2 }\)

\(= {2 \over 9}\left( {2\sqrt 2  - 1} \right)\)

e) Đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = \ln x \hfill \cr
dv = {x^2}dx \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{
du = {{dx} \over x} \hfill \cr
v = {{{x^3}} \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Do đó \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = \left. {{{{x^3}} \over 3}\ln x} \right|} _1^e - {1 \over 3}\int\limits_1^e {{x^2}dx}\)

\(= {{{e^3}} \over 3} - \left. {{1 \over 9}{x^3}} \right| _1^e = {{2{e^3} + 1} \over 9}\)

Giaibaitap.me