Bài 1 trang 89 sgk giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ:

a) \(2^{-x^{2}+3x}< 4\);

b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x} ≥ \frac{9}{7}\);

c) \({3^{x + 2}} +{3^{x - 1}} \le 28\);

d) \({4^x}-{\rm{ }}{3.2^x} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0\).

Giải:

a) \(2^{-x^{2}+3x} < 4 ⇔ 2^{-x^{2}+3x} < 2^2⇔ - {x^2} + {\rm{ }}3x{\rm{ }} < {\rm{ }}2\)

\(⇔{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0 ⇔ x > 2\) hoặc \(x < 1\).

b) \(\left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x} ≥\) \(\frac{9}{7}\) \(⇔ \left ( \frac{7}{9} \right )^{2x^{2}-3x}  ≥  (\frac{7}{9})^{-1}\) 

\(⇔ 2{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} \le {\rm{ }} - 1 \Leftrightarrow {\rm{ }}2{x^2}-{\rm{ }}3x{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} \le {\rm{ }}0\)

\(\Leftrightarrow {\rm{ }}x \in {\rm{ }}\left[ {1;2} \right]\).

 c)  \({3^{x + 2}} + {\rm{ }}{3^{x - 1}} \le {\rm{ }}28 \Leftrightarrow {\rm{ }}{3^{x - 1}}(3^3+1){\rm{ }} \le {\rm{ }}28\)

\(\Leftrightarrow{3^{x - 1}} \le {\rm{ }}{3^{0}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x - {\rm{ }}1 \le {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}x \le {\rm{ }} - 1\).

d) \({4^x}-{\rm{ }}{3.2^x} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > {\rm{ }}0\)

Đặt \(t = 2^x >0\), bất phương trình đã cho trở thành 

\({t^2}-{\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} > 0 \Leftrightarrow {\rm{ }}0{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}1\) hoặc \(t > 2\).

Trở lại biến cũ ta được 

\({2^{x}} < {\rm{ }}1 \Leftrightarrow {2^{x}} < {\rm{ }}{2^0} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}0\)

hoặc \({2^{x}} > {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}{2^{x}} > {\rm{ }}{2^1} \Leftrightarrow {\rm{ }}x > {\rm{ }}1\).

Bài 2 trang 90 sgk giải tích 12

Giải các bất phương trình lôgarit:

a) \(lo{g_8}\left( {4 - {\rm{ }}2x} \right){\rm{ }} \ge {\rm{ }}2\);

b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)\) > \(log_{\frac{1}{5}}(x +1)\);

c) \(lo{g_{0,2}}x{\rm{ }}-{\rm{ }}lo{g_5}\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3\); 

d) \(log_{3}^{2}x - 5log_3 x + 6 ≤ 0\).

Giải:

a) Điều kiện \(x ≤ 2\).

Ta có: \(2 = log_{8}8^{2}\) nên \(log_8(4- 2x) ≥ log_{8}8^{2}\) 

\(⇔ 4- 2x ≥ 64 ⇔ x ≤ -30\).

b) \(log_{\frac{1}{5}}(3x - 5)\) > \(log_{\frac{1}{5}}(x +1)\) \(⇔ 0 < 3x - 5 < x + 1\) \(⇔ \frac{5}{3} < x < 3\).

c) Điều kiện: \(x > 2\). Chú ý rằng

\(log_5(x- 2) = log_{\left ( \frac{1}{5} \right )^{-1}}(x- 2) = -log_{0,2}(x- 2)\), nên bất phương trình đã cho tương đương với

\(lo{g_{0,2}}x{\rm{ }} + lo{g_{0,2}}\left( {x - {\rm{ }}2} \right) < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3\)\(⇔lo{g_{0,2}}x\left( {x - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} < {\rm{ }}lo{g_{0,2}}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} > {\rm{ }}3\) 

\(⇔ x^2- 2x – 3 > 0 ⇔ (x - 3) (x+ 1) > 0\)

\(⇔ x - 3 > 0 ⇔ x > 3\) (do \(x > 2\)).

d) Đặt \(t = log_3x\) ta được bất phương trình 

\(t^2– 5t + 6 ≤  0 ⇔ 2 ≤ t ≤ 3\). Trở ại biến cũ ta được \(2 ≤ log_3x ≤3 ⇔\) \(log_{3}{3^{2}} ≤  log_3x ≤\) \(log_{3}{3^{3}}\)  \(⇔ 9 ≤ x ≤ 27\).

Giaibaitap.me