Bài 4 trang 68 - SGK Hình học 12

Tính:

a) \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\) với \(\overrightarrow{a}(3; 0; -6)\), \(\overrightarrow{b}(2; -4; 0)\).

b) \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}\) với \(\overrightarrow{c}(1; -5; 2)\), \(\overrightarrow{d}(4; 3; -5)\).

Giải:

a)  \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b} = 3.2 + 0.(-4) +(-6).0 = 6\).

b)  \(\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d} = 1.4 + (-5).3 + 2.(-5) = -21\).

Bài 5 trang 68 - SGK Hình học 12

Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:

a) \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) ;

b) \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

Giải:

a) Ta có phương trình : \({x^2} + {\rm{ }}{y^{2}} + {\rm{ }}{z^2}-{\rm{ }}8x{\rm{ }} - {\rm{ }}2y{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

\( \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} + {\rm{ }}{z^2} = {\rm{ }}{4^2}\)

Đây là mặt cầu tâm \(I(4; 1; 0)\) và có bán kính \(r = 4\).

b) Ta có phương trình:

 \(3{x^2} + {\rm{ }}3{y^2} + {\rm{ }}3{z^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}8y{\rm{ }} + {\rm{ }}15z{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)     

\(\Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2}{\rm{  - }}2x + {8 \over 3}y + 5z{\rm{  - }}1 = 0\)

\(⇔ (x-1)^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}+(z+\frac{5}{2})^{2}= (\frac{19}{6})^{2}\).

Đây là mặt cầu tâm \(J(1; -\frac{4}{3};-\frac{5}{2})\) và có bán kính là \(R = \frac{19}{6}\).

Bài 6 trang 68 - SGK Hình học 12

Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau đây:

a) Có đường kính \(AB\) với \(A(4 ; -3 ; 7),  B(2 ; 1 ; 3)\)

b) Đi qua điểm \(A = (5; -2; 1)\) và có tâm \(C(3; -3; 1)\)

Giải:

a) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\), thì mặt cầu có đường kính \(AB\), có tâm \(I\) và bán kính 

\(r =\frac{1}{2}AB=IA\).

Ta có : \(I (3; -1; 5)\) và \(r^2 = IA^2 = 9\).

Do vậy phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) có dạng:

\({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^{2}} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + 1} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2} = {\rm{ }}9\)        

b) Mặt cầu cần tìm có tâm \(C(3; -3; 1)\) và có bán kính \(r = CA = \sqrt{4+1+0}=\sqrt{5}\)

Do đó phương trình mặt cầu có dạng:

\({\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}3} \right)^2} + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^{2}} + {\rm{ }}{\left( {z{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right)^2} = {\rm{ }}5\).

Giaibaitap.me