Bài 1 trang 100-SGK Giải tích 12

Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại?

a)  \(e^{-x}\) và \(-  e^{-x}\);                             b) \(sin2x\) và \(sin^2x\) 

c) \((1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}\)  và \((1-\frac{4}{x})e^{x}\)

Giải

a) \(e^{-x}\) và \(-  e^{-x}\) là nguyên hàm của nhau, vì:

\(({e^{ - x}})'= {e^{ - x}}\left( { - 1} \right)=  - {e^{ - x}}\)  và \(( - {e^{ - x}})' = \left( { - 1} \right)( - {e^{ - x}}) = {e^{ - x}}\)

b)  \(sin^2x\)   là nguyên hàm của \(sin2x\), vì:

\(\left( {si{n^2}x} \right)'{\rm{ }} = {\rm{ }}2sinx.\left( {sinx} \right)' = 2sinxcosx = sin2x\)

c) \((1-\frac{4}{x})e^{x}\) là một nguyên hàm của \((1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}\)  vì:

\(({(1-\frac{4}{x})e^{x})}'\) = \(\frac{4}{x^{2}}e^{x}+(1-\frac{4}{x})e^{x}\)   = \(\left (1-\frac{4}{x}+\frac{4}{x^{2}} \right )e^{x}\) = \((1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}\)

Bài 2 trang 100-101-SGK Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau?

a) \(f(x) = \frac{x+\sqrt{x}+1}{^{\sqrt[3]{x}}}\) ;               b) \( f(x)=\frac{2^{x}-1}{e^{x}}\)

c) \(f(x) = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}\);              d) \(f(x) = sin5x.cos3x\)

e) \(f(x) = tan^2x\)                     g) \(f(x) = e^{3-2x}\)

h) \(f(x) =\frac{1}{(1+x)(1-2x)}\) ;

Giải 

a) Điều kiện \(x>0\). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được:

\(f(x) = \frac{x+x^{\frac{1}{2}}+1}{x^{\frac{1}{3}}}\) = \(x^{1-\frac{1}{3}}+ x^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}}+ x^{-\frac{1}{3}}\) = \(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}}\)

\(∫f(x)dx = ∫(x^{\frac{2}{3}}+ x^{\frac{1}{6}} + x^{-\frac{1}{3}})dx\) = \(\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}+ \frac{6}{7}x^{\frac{7}{6}}+\frac{3}{2}x^{\frac{2}{3}}\) +C

b) Ta có \(f(x) = \frac{2^{x}-1}{e^{x}}\) = \((\frac{2}{e})^{x}\)\(-e^{-x}\)

 ; do đó nguyên hàm của \(f(x)\) là:

\(F(x)= \frac{(\frac{2}{e})^{x}}{ln\frac{2}{e}} + e^{-x}+C\) =\(\frac{2^{x}}{e^{x}(ln2 -1)}+\frac{1}{e^{x}}+C\)= \(\frac{2^{x}+ln2-1}{e^{x}(ln2-1)} + C\)

c) Ta có \(f(x) = \frac{1}{sin^{2}x.cos^{2}x}=\frac{4}{sin^{2}2x}\)

hoặc \(f(x) =\frac{1}{cos^{2}x.sin^{2}x}=\frac{1}{cos^{2}x}+\frac{1}{sin^{2}x}\)

Do đó nguyên hàm của \(f(x)\) là \(F(x)= -2cot2x + C\)

d) Áp dụng công thức biến tích thành tổng:

 \(f(x) =sin5xcos3x = \frac{1}{2}(sin8x +sin2x)\).

Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x)\) là

\(F(x)\) = \(-\frac{1}{4}\)(\(\frac{1}{4}cos8x + cos2x) +C\)

e) Ta có  \(tan^{2}x = \frac{1}{cos^{2}x}-1\)

vậy nguyên hàm của hàm số f(x) là \(F(x) = tanx - x + C\)

g) Ta có  \(\int {{e^{3 - 2x}}} dx =  - {1 \over 2}\int {{e^{3 - 2x}}} d(3 - 2x) =  - {1 \over 2}{e^{3 - 2x}} + C\)

h) Ta có :\(\int \frac{dx}{(1+x)(1-2x))}=\frac{1}{3}\int (\frac{1}{1+x}+\frac{2}{1-2x})dx\)

                = \(\frac{1}{3}(ln\left | 1+x \right |)-ln\left | 1-2x \right |)+C\) 

                = \(\frac{1}{3}ln\left | \frac{1+x}{1-2x} \right | +C\).

Bài 3 Trang 101- SGK Giải tích 12

Sử dụng phương pháp biến số, hãy tính:

a)  \(∫{(1-x)}^9dx\)   (đặt \(u =1-x\) ) ;

b)  \(∫x{(1 + {x^2})^{{3 \over 2}}}dx\) (đặt \(u = 1 + x^2\) )

c)  \(∫cos^3xsinxdx\)   (đặt \(t = cosx\))

d)  \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\)    (đặt \(u= e^x+1\))

Giải

a) Cách 1: Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow du= -dx\). Khi đó ta được  \(-\int u^{9}du = -\frac{1}{10}u^{10}+C\)

Suy ra \(\int(1-x)^{9}dx=-\frac{(1-x)^{10}}{10}+C\)

Cách 2: \(\smallint {\left( {1 - x} \right)^9}dx =  - \smallint {\left( {1 - x} \right)^{9}}d\left( {1 - x} \right)=\)  \(-\frac{(1-x)^{10}}{10} +C\)

b) Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a.

Cách 2:  \(\int x(1+x^{2})^{\frac{3}{2}}dx\) = \(\frac{1}{2}\int (1+x^{2})^{\frac{3}{2}}d(1+x^2{})\)

                                          = \(\frac{1}{2}.\frac{2}{5}(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\) = \(\frac{1}{5}.(1+x^{2})^{\frac{5}{2}}+C\)

c)\(∫cos^3xsinxdx = -∫cos^3xd(cosx)\)

\(= -\frac{1}{4}.cos^{4}x + C\)

d)  \(\int \frac{dx}{e^{x}+e^{-x}+2}\) =  \(\int \frac{e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}dx\)=  \(\int \frac{d(e^{x}+1)}{(e^{x}+1)^{2}}dx\)

     =\(\frac{-1}{e^{x}+1} + C\).

Bài 4 trang 101- SGK Toán Giải tích 12

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính:

a) \(∫xln(1+x)dx\);             b) \(\int {({x^2} + 2x + 1){e^x}dx}\)

c) \(∫xsin(2x+1)dx\);         d) \(\int (1-x)cosxdx\)

Giải

a) Áp dụng phương pháp tìm nguyên hàm từng phần:

Đặt \(u= ln(1+x)\)

     \(dv= xdx\)    

\(\Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx\) ,  \(v=\frac{x^{2}-1}{2}\)

Ta có: \(∫xln(1+x)dx = \frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)\)\(-\frac{1}{2}\int (x-1)dx)\)

                             \(=\frac{1}{2}.(x^{2}-1)ln(1+x)-\frac{1}{4}x^{2}+\frac{x}{2}+C\)

b) Tìm nguyên hàm t4ừng phần hai lần:

Đặt \(u = ({x^2} + 2x - 1)\) và \(dv=e^xdx\)

Suy ra \(du = (2x+2)dx\), \(v=e^x\)

. Khi đó:

\(\int {({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}dx} \) = \(({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}\) - \(\int {(2x + 2){e^x}dx} \)

Đặt : \(u=2x+2\); \(dv={e^x}dx\)

 \(\Rightarrow du = 2dx ;v={e^x}\)

Khi đó: \(\int {(2x + 2){e^x}dx} \)\(= {(2x + 2){e^x}}\)\(- 2\int {{e^x}dx} \)\(= {\rm{ }}{e^x}\left( {2x + 2} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}2{e^x} + C\)

Vậy: \(\int {({x^2} + 2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1){e^x}dx} ={e^x}({x^2} - 1){\rm{ }} + {\rm{ }}C\)

c)  Đặt \(u=x\); \(dv = sin(2x+1)dx\)

\(\eqalign{
& \int {x\sin \left( {2x + 1} \right) = - {1 \over 2}x\cos \left( {2x + 1} \right)} + {1 \over 2}\int {\cos \left( {2x + 1} \right)dx} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - {1 \over 2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + {1 \over 4}\sin \left( {2x + 1} \right) + C \cr} \)

d) Đặt \(u = 1 - x\)  ;\(dv = cosxdx\)

\(\eqalign{
& \int {\left( {1 - x} \right)\cos xdx = \left( {1 - x} \right)\sin x + \int {\sin xdx} } \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 - x} \right)\sin x - \cos x + C \cr} \)

Giaibaitap.me