Bài 5 trang 90 SGK Giải tích 12

Biết \({4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} = {\rm{ }}23\).

Hãy tính: \({2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}\)

Giải

\({{{\left( {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}}} \right)}^2} = {({2^x})^2} + {2.2^x}{.2^{ - x}} + {({2^{ - x}})^2}={\rm{ }}{4^x} + {\rm{ }}{4^{ - x}} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}23{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}25}\)

Do đó \(|{2^x} + {2^{ - x}}| = 5\)

Mà \({2^x} + {2^{ - x}} > 0\)

\(⇒ {{2^x} + {\rm{ }}{2^{ - x}} = {\rm{ }}5}\).

Bài 6 trang 90 SGK Giải tích 12

Cho \({\log _a}b = 3,{\log _a}c =  - 2\) . Hãy tính \(log_ax\) với:

a) \(x = {a^3}{b^2}\sqrt c \)

b) \(x = {{{a^4}\root 3 \of b } \over {{c^3}}}\)

Giải

Logarit hóa biểu thức đã cho và sử dụng giả thiết ta được:

a)

\(\eqalign{
& lo{g_a}x = {\rm{ }}3 + 2lo{g_a}b + {1 \over 2}{\log _a}c \cr
& = 3 + 6 - 1 = 8 \cr} \)

b) 

\(\eqalign{
& {\log _a}x = 4 + {1 \over 3}{\log _a}b - 3{\log _a}c \cr
& = 4 + 1 + 6 = 11 \cr} \).

Bài 7 trang 90 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình sau:

a) \({3^{x + 4}} + {\rm{ }}{3.5^{x + 3}} = {\rm{ }}{5^{x + 4}} + {\rm{ }}{3^{x + 3}}\)

b) \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Giải

a)

\(\eqalign{
& {3^{x + 4}} + {3.5^{x + 3}} = {5^{x + 4}} + {3^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {3^{x + 4}} - {3^{x + 3}} = {5^{x + 4}} - {3.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {2.3^{x + 3}} = {2.5^{x + 3}} \cr
& \Leftrightarrow {({3 \over 5})^{x + 3}} = 1 \Leftrightarrow x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \)

b)  \({25^x}-{\rm{ }}{6.5^x} + {\rm{ }}5{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

Đặt \(t = 5^x\) (\(t > 0\)) \(⇔ x = log_5 t\).

Phương trình đã cho trở thành:

\(t^2– 6t + 5 = 0 ⇔ t ∈ {\rm{\{ }}1;5\} \)

Do đó, phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 0, x = 1\)

c) \({4.9^x} + {\rm{ }}{12^x}-{\rm{ }}{3.16^x} = {\rm{ }}0\)

Chia phương trình cho \(16^x\) và đặt \(t = {({3 \over 4})^x}(t > 0) \Leftrightarrow x = {\log _{{3 \over 4}}}t\) ta được phương trình:

\(4t^2+ t – 3 = 0 ⇔ (t+1)(4t-3) = 0\)

Phương trình bậc hai này chỉ có một nghiệm dương \(t = {3 \over 4}\) .

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là : \(x = {\log _{{3 \over 4}}}{3 \over 4} = 1\)

d) \(lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_7}x\)

Điều kiện: \(x > 1\) 

\(\eqalign{
& lo{g_7}\left( {x - 1} \right)lo{g_7}x = lo{g_7}x \cr
& \Leftrightarrow {\log _7}x({\log _7}(x - 1) - 1) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{\log _7}x = 0 \hfill \cr
{\log _7}(x - 1) = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
(x - 1) = 7 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = 8 \hfill \cr} \right. \cr}\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta có: \(x = 8\)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(x = 8\)

e) \({\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6\)

Điều kiện : \(x > 0\)

Ta có:

\(\eqalign{
& {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x + {\log _{{1 \over 3}}}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _3}x + {\log _{\sqrt 3 }}x - {\log _3}x = 6 \cr
& \Leftrightarrow {\log _{\sqrt 3 }}x = 6 \Leftrightarrow x = {3^3} \cr
& \Leftrightarrow x = 27 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 27\)

g) \(\log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x\)

Ta có:

\(\eqalign{
& \log {{x + 8} \over {x - 1}} = \log x \Leftrightarrow {{x + 8} \over {x - 1}} = x > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0,x \ne 1 \hfill \cr
{x^2} - 2x - 8 = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow x = 4 \cr} \)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = 4\)

Bài 8 trang 90 SGK Giải tích 12

Giải các bất phương trình

a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)

b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)

c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)

d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x <  - 6\)

Giải

a) \({2^{2x - 1}} + {\rm{ }}2{x^{2x - 2}} + {\rm{ }}{2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}448\)

Ta có:

\(⇔ {2^{2x - 3}}({2^2} + {\rm{ }}{2^1} + {\rm{ }}1){\rm{ }} \ge {\rm{ }}448\)

\(⇔ {2^{2x - 3}} \ge {\rm{ }}64{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} \ge {\rm{ }}6\)

\(⇔ x ≥ 4,5\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \([4,5; +∞)\).

b) \({\left( {0,4} \right)^x}-{\rm{ }}{\left( {2,5} \right)^{x + 1}} > {\rm{ }}1,5\)

Đặt \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho trở thành:

\(\eqalign{
& t - {{2,5} \over t} > 1,5 \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 5 > 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t < - 1 \hfill \cr
t > 2,5 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Do \(t = {(0,4)}^x> 0\), bất phương trình đã cho tương đương với:

\({\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}2,5{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^x} > {\rm{ }}{\left( {0,4} \right)^{ - 1}} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }} - 1\)

c) \({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1\)

Ta có:

\({\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < 1 \)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {{{\log }_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1)} \right] < {\log _3}3\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{\log _{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 0 = {\log _{{1 \over 2}}}1 \hfill \cr
lo{g_{{1 \over 2}}}({x^2} - 1) > 3 = {\log _{{1 \over 2}}}{1 \over 8} \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < {x^2} - 1 < 1 \hfill \cr
{x^2} - 1 > {1 \over 8} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} < 2 \hfill \cr
{x^2} > {9 \over 8} \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
|x| < \sqrt 2 \hfill \cr
|x| > {3 \over {2\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {3 \over {2\sqrt 2 }} < |x|<\sqrt 2 \)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: \(\left\{ {x \in R:{3 \over {2\sqrt {2 < } }}<|x| < \sqrt 2 } \right\}\)

d) \({\log _{0,2}}^2x - 5{\log _{0,2}}x <  - 6\)

Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_{0,2}}x\). Bất phương trình trở thành

\({t^2}-{\rm{ }}5t{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} < {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}t{\rm{ }} < {\rm{ }}3\)

Suy ra: (1) ⇔ 

\(\eqalign{
& 2 < {\log _{0,2}}x < 3 \Leftrightarrow {(0,2)^3} < x < {(0,2)^2} \cr
& \Leftrightarrow {1 \over {125}} < x < {1 \over {25}} \cr}\)               

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(({1 \over {125}},{1 \over {25}})\)

Giaibaitap.me