Bài 13 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng: 

d₁:$\left\{ \matrix{ x = - 1 + 3t \hfill \cr  y = 1 + 2t \hfill \cr  z = 3 - 2t \hfill \cr} \right.$ và d₂ :$\left\{ \matrix{ x = k \hfill \cr y = 1 + k \hfill \cr z = - 3 + 2k. \hfill \cr} \right.$

a) Chứng minh rằng d₁ và d₂  cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Viết phương trình mặt phẳng đó.

Giải

a) Đường thẳng d₁ đi qua điểm $M_1(-1; 1; 3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a_1}}  = (3;2; - 2)$; đường thẳng d₂ đi qua điểm $M_2$$(0; 1; -3)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {{a_2}} = (1; 1; 2)$.

Ta có $\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)$, $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = (1; 0; -6)$ và $\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]$. $\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = 0$

nên ba vectơ $\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}}$ đồng phẳng.

Vậy hai đường thẳng d₁, d₂ nằm cùng một mặt phẳng.

b) Gọi $(P)$ là mặt phẳng chứa d₁ và d₂.

Khi đó $(P)$ qua điểm $M_1 (-1; 1; 3)$ và có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= (6; -8; 1)$.

Phương trình mặt phẳng $(P)$ có dạng:

$6(x + 1) - 8(y - 1) + (z - 3) = 0$

hay $6x - 8y + z + 11 = 0$

Bài 14 trang 101 SGK Hình học 12

Trong không gian cho ba điểm $A, B, C$.

a) Xác định điểm $G$ sao cho $\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = 0.$

b) Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho $MA^2 + 2MB^2 - 2MC^2 = k^2$, với $k$ là hằng số.

Giải

a) Ta có

$\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow {GA}  +2(\overrightarrow {GB}  - \overrightarrow {GC} ) = \overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {CB}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  = 2\overrightarrow {CB}$

Gọi $D$ là điểm mà $\overrightarrow {CD}  = 2\overrightarrow {CB}$ tức là điểm $B$ là trung điểm của $CD$ thì $G$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $ACDG$.

b) Gọi $G$ là điểm trong câu a): $\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$.

Ta có: $M{A^2} = {\overrightarrow {MA} ^2}= {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} )^2}$

$= M{G^2} + G{A^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA}$;

$M{B^2} = {\overrightarrow {MB} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} )^2}$

$= M{G^2} + G{B^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB}$;

$M{C^2} = {\overrightarrow {MC} ^2} = {(\overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} )^2}$

$= M{G^2} + G{C^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC}$.

Từ đó $MA^2 + MB^2 -2 MC^2 = k^2$

$\Leftrightarrow M{G^2} + G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2}$

$+ 2\overrightarrow {MG} (\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC} ) = {k^2}$

$\Leftrightarrow M{G^2} = {k^2} - (G{A^2} + 2G{B^2} - 2G{C^2})$ 

vì $\overrightarrow {GA}  + 2\overrightarrow {GB}  - 2\overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$.

Do vậy:

Nếu $k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 > 0$ thì tập hợp các điểm M là mặt cầu tâm G bán kính r.

Nếu $k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 =0$ thì tập hợp M chính là điểm G.

Nếu $k^2 - (GA^2 + 2GB^2 - 2GC^2) = r^2 < 0$ thì tập hợp các điểm M chính là tập rỗng.

Bài 15 trang 101 SGK Hình học 12

Cho hai đường thẳng chéo nhau

d :$\left\{ \matrix{ x = 2 - t \hfill \cr  y = - 1 + t \hfill \cr  z = 1 - t \hfill \cr} \right.$ và $d':\left\{ \matrix{ x = 2 + 2k \hfill \cr  y = k \hfill \cr  z = 1 + k. \hfill \cr} \right.$

a) Viết phương trình các mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ song song với nhau và lần lượt chứa $d$ và $d'$.

b) Lấy hai điểm $M(2 ; -1 ; 1)$ và $M'(2 ; 0 ; 1)$ lần lượt trên $d$ và $d'$. Tính khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $(β)$ và khoảng cách từ $M'$ đến mặt phẳng $(α)$. So sánh hai khoảng cách đó.

Giải

a) Mặt phẳng $(α)$ chính là mặt phẳng chứa $d$ và song song với $d'$

$d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a  = (-1; 1; -1)$.

$d'$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {a'}  = (2; 1; 1)$

Vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ của $(α)$ vuông góc với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow {a'}$ nên:

$\overrightarrow n  = (1.1 - 1.(-1); (-1).2 - 1.(-1); (-1).1 - 2.1)$

      $= (2; -1; -3)$

Đường thẳng $d$ chứa điểm $A(2; -1; 1)$. Mặt phẳng $(α)$ chứa $d$ nên chứa điểm $A$. Phương trình của $(α)$:

$2(x - 2) - 1(y + 1) - 3(z - 1) = 0$

$\Leftrightarrow  2x - y - 3z - 2 = 0$

Tương tự ta có $(β)$: $2x - y - 3z - 1 = 0$

b) Ta có: $d (M,(β))$ =${{\left| {2.2 - 1.( - 1) - 3.1 - 2} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 1)}^2} + {{( - 3)}^2}} }} = {1 \over {\sqrt {14} }}$

Tương tự, ta có: $d (M',(α))$ = ${1 \over {\sqrt {14} }}$

$\Rightarrow d(M,(β)) = d(M', (α))$

Bài 16 trang 102 SGK Hình học 12

Trong không gian $Oxyz$ cho mặt phẳng $(α)$ có phương trình $4x + y + 2z + 1 = 0$ và mặt phẳng $(β)$ có phương trình $2x - 2y + z + 3 = 0$.

a) Chứng minh rằng $(α)$ cắt $(β)$.

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$ là giao của $(α)$ và $(β)$.

c) Tìm điểm $M'$ đối xứng với điểm $M(4 ; 2 ; 1)$ qua mặt phẳng $(α)$.

d) Tìm điểm $N'$ đối xứng với điểm $N(0 ; 2 ; 4)$ qua đường thẳng $d$.

Giải

a) Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (4; 1; 2)$

Mặt phẳng $(β)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {n'}  = (2; -2; 1)$

Vì ${4 \over 2} \ne {1 \over { - 2}} \ne {2 \over 1} \Rightarrow \overrightarrow n$ và $\overrightarrow {n'}$ không cùng phương.

Suy ra $(α)$ và $(β)$ cắt nhau.

b) $(α)$ cắt $(β)$ nên $\overrightarrow {{n_1}}$ và $\overrightarrow {{n_2}}$ có giá vuông góc với đường thẳng $d$, vì vậy vectơ $\overrightarrow {{u_1}}  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right]= (5; 0; -10$) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$.

Ta có thể chọn vectơ $\overrightarrow u = (1; 0; -2)$ làm vectơ chỉ phương.

Ta tìm một điểm nằm trên $d$.

Xét hệ$\left\{ \matrix{ 4x + y + 2z + 1 = 0 \hfill \cr 2x - 2y + z + 3 = 0 \hfill \cr} \right.$

Lấy điểm $M_0(1; 1; -3) ∈ d$. 

Phương trình tham số của $d$ là:$\left\{ \matrix{ x = 1 + s \hfill \cr y = 1 \hfill \cr z = - 3 - 2s \hfill \cr} \right.$

c) Mặt phẳng $(α)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n  = (4; 1; 2)$.

Đường thẳng $∆$ đi qua $M(4; 2; 1)$ và vuông góc với $(α)$, nhận vectơ $\overrightarrow n$ làm vectơ chỉ phương và có phương trình tham số: 

$\left\{ \matrix{ x = 4 + 4t \hfill \cr y = 2 + t \hfill \cr z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.$

Trước hết ta tìm toạ độ hình chiếu $H$ của $M$ trên $(α)$ bằng cách thay các biểu thức của $x, y, z$  theo $t$ vào phương trình của $(α)$, ta có:

$4(4 + 4t) + (2 + t) + 2(1 + 2t) + 1 = 0$

$\Leftrightarrow 21t + 21 = 0 \Leftrightarrow t =  - 1$

Từ đây ta tính được $H (0; 1; -1)$

Gọi $M' (x; y; z)$ là điểm đối xứng với $M$ qua mp $(α)$ thì $\overrightarrow {MM'}  = 2\overrightarrow {MH}$:

$\overrightarrow {MH} = (-4; -1; -2)$

$\overrightarrow {MM'} = (x - 4; y - 2; z - 1)$. 

$\overrightarrow {MM'} = 2\overrightarrow {MH} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 4 = 2.( - 4) \Rightarrow x = - 4 \hfill \cr y - 2 = 2.( - 1) \Rightarrow y = 0 \hfill \cr z - 1 = 2.( - 2) \Rightarrow z = - 3 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow M( - 4;0; - 3)$

d) Đường thẳng $d$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow a  = (1; 0; -2)$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $N(0; 2; 4)$ và vuông góc với $d$, nhận $\overrightarrow a$ làm vectơ pháp tuyến và có phương trình:

$1(x - 0) + 0(y - 2) - 2(z - 4) = 0$

$(P)$: $x - 2y + 8 = 0$

Ta tìm giao điểm $I$ của $d$ và $(P)$. Ta có:

$t - 2(-1 - 2t) + 8 = 0$$\Leftrightarrow  5t + 10 = 0\Leftrightarrow  t = -2$

$\Leftrightarrow I( -2; 1; 3)$

$N' (x; y; z)$ là điểm đối xứng của $N$ qua $d$ thì $\overrightarrow {NN'}  = 2\overrightarrow {NI}$

$\overrightarrow {NI} = (-2; -1; -1)$, $\overrightarrow {NN'}  = (x; y - 2; z - 4)$

$\Rightarrow \left\{ \matrix{ x = ( - 2).2 \hfill \cr y - 2 = ( - 1).2 \hfill \cr z - 4 = ( - 1).2 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = - 4 \hfill \cr y = 0 \hfill \cr z = 2 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow N'( - 4;0;2)$

Giaibaitap.me