Bài 1 trang 94 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ

\(\overrightarrow a  = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b  = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c  = (1;1;1)\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 2 \);                           (B) \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt 3 \);

(C) \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b \);                                 (D) \(\overrightarrow b  \bot \overrightarrow c \).

Giải

Chọn (D) \(\overrightarrow b  \bot \overrightarrow c \).

Bài 2 trang 94 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ

\(\overrightarrow a  = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b  = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c  = (1;1;1)\).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) \(\overrightarrow a .\overrightarrow c  = 1;\)

(B)  \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương;

(C) cos (\(\overrightarrow b \), \(\overrightarrow c \))= \({2 \over {\sqrt 6 }}\);

(D) \(\overrightarrow a \) + \(\overrightarrow b \) + \(\overrightarrow c \) = \(\overrightarrow 0 \)

Giải

Chọn (C) cos (\(\overrightarrow b \), \(\overrightarrow c \))= \({2 \over {\sqrt 6 }}\)

Bài 3 trang 94 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho ba vectơ

\(\overrightarrow a  = ( - 1;1;0)\), \(\overrightarrow b  = (1;1;0)\) và \(\overrightarrow c  = (1;1;1)\)

Cho hình bình hành \(OADB\) có \(\overrightarrow {OA} \) = \(\overrightarrow a \), \(\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b \) (\(O\) là gốc toạ độ). Toạ độ của tâm hình bình hành \(OADB\) là:

(A) \((0 ; 1 ; 0)\)                                      (B) \((1 ; 0 ; 0)\)

(C) \((1 ; 0 ; 1)\)                                      (D) \((1 ; 1 ; 0)\).

Giải

Gọi tọa độ của \(D(x;y;z)\)

\(OADB\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b=(0;2;0) \)

Gọi \(I\) là tâm của hình bình hành nên \(\vec{OI}={1\over2}\vec{OD}=(0;1;0)\)

Vậy \(I(0;1;0)\)

Chọn (A) \((0 ; 1 ; 0)\).

Bài 4 trang 94 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) Bốn điểm A, B, C, D tạo thành một tứ diện ;

(B) Tam giác ABD là tam giác đều ;

(C) \(AB ⊥ CD\) ;

(D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông.

Giải

Ta có: 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = ( - 1;1;0) \cr
& \overrightarrow {CD} = (1;1;0) \cr
& \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} = - 1.1 + 1.1 + 0.0 = 0 \cr} \)

Chọn (D) Tam giác \(BCD\) là tam giác vuông.

Bài 5 trang 95 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)

Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CD\). Toạ độ điểm \(G\) là trung điểm của \(MN\) là:

(A) G \(\left( {{1 \over 3};{1 \over 3};{1 \over 3}} \right)\) ;                           (B) G \(\left( {{1 \over 4};{1 \over 4};{1 \over 4}} \right)\) ;

(C) G \(\left( {{2 \over 3};{2 \over 3};{2 \over 3}} \right)\) ;                           (D) G \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\).

Giải

Chọn (D) G \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\).

Bài 6 trang 95 SGK Hình học 12

Trong không gian \(Oxyz\) cho bốn điểm \(A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1)\) và \(D(1; 1; 1)\)

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\) có bán kính là:

(A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\) ;                                           (B) \(\sqrt2\) ;

(C) \(\sqrt3\);                                             (D) \({3 \over 4}\) .

Giải

Phương trình tổng quát của mặt cầu là:

\({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

Mặt cầu đi qua \(A,B,C,D\) nên ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
1 - 2a + d = 0(1) \hfill \cr
1 - 2b + d = 0(2) \hfill \cr
1 - 2c + d = 0(3) \hfill \cr
3 - 2a - 2b - 2c + d = 0(4) \hfill \cr} \right.\)

Lấy (1)+(2)+(3)-(4) ta được: \( \Rightarrow d = 0\)

Từ đây ta được: \(a = {1 \over 2},b = {1 \over 2},c = {1 \over 2}\)

\({R} = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = {{\sqrt 3 } \over 2}\)

Chọn (A) \({{\sqrt 3 } \over 2}\).

Bài 7 trang 95 SGK Hình học 12

Cho mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(M(0 ; 0 ; -1)\) và song song với giá của hai vectơ \(\overrightarrow a  = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = (3 ; 0 ; 5)\).

Phương trình của mặt phẳng \((α)\) là:

(A) \(5x - 2y - 3z - 21 = 0\) ;              

(B) \( - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\) ;

(C) \(10x - 4y - 6z + 21 = 0\) ;        

(D) \(5x - 2y - 3z + 21 = 0\) .

Giải

 Gọi \(\vec n\) là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha)\) thì 

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right] = ( - 10;4;6)\).

Phương trình của mặt phẳng \((\alpha)\) là:

\(- 10(x - 0) + 4(y - 0) + 6(z + 1) = 0\) 

\(\Leftrightarrow 10x + 4y + 6z + 6 = 0 \)

\(\Leftrightarrow - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\) 

Chọn (B) \( - 5x + 2y + 3z + 3 = 0\).

Bài 8 trang 95 SGK Hình học 12

Cho ba điểm \(A (0 ; 2 ; 1), B(3; 0 ;1), C(1 ; 0 ; 0)\). Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:

(A) \(2x - 3y - 4z +2 = 0\)

(B) \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\)

(C) \(4x + 6y - 8z + 2 = 0\)

(D) \(2x - 3y - 4z + 1 = 0\).

Giải

\(\overrightarrow {AB}  = (3; - 2;0),\overrightarrow {AC}  = (1; - 2; - 1)\)

Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là:

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right] = (2; - 3; - 4)\)

Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:

\(2(x - 0) + 3(y - 2) - 4(z - 1) = 0 \)

\(\Leftrightarrow 2x + 3y - 4z - 2 = 0\)

Chọn (B) \(2x + 3y - 4z - 2 = 0\).

Bài 9 trang 95 SGK Hình học 12

Gọi \((α)\) là mặt phẳng cắt ba trục toạ độ tại \(3\) điểm \(M(8 ; 0 ; 0), N(0 ; -2 ; 0), P(0 ; 0 ; 4)\). Phương trình của \((α)\) là:

(A) \({x \over 8} + {y \over { - 2}} + {z \over 4} = 0\);

(B) \({x \over 4} + {y \over { - 1}} + {z \over 2} = 1\);

(C) \(x - 4y + 2z = 0\);

(D) \(x - 4y + 2z - 8 = 0\).

Giải

 Phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) dưới dạng đoạn chắn là:

\({x \over 8} + {y \over { - 2}} + {z \over 4} = 1 \Leftrightarrow x - 4y + 2z - 8 = 0\)

Chọn (D) \(x - 4y + 2z - 8 = 0\).

Bài 10 trang 95 SGK Hình học 12

Cho ba mặt phẳng \((α)\) \(x + y + 2z + 1 = 0\);

                                           \((β)\) \(x + y - z + 2 = 0\);

                                           \((γ)\) \(x - y + 5 = 0\).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

(A) \((α) ⊥ (β)\) ;                            (B) \((γ) ⊥ (β)\);

\((C) (α)// (γ)\) ;                            (D) \((α) ⊥ (γ)\).

Giải

Chọn (C) \((α) //(γ)\).

Bài 11 trang 96 SGK Hình học 12

Cho đường thẳng \(△\) đi qua điểm \(M(2 ; 0 ; -1)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow a  = (4 ; -6 ; 2)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(△\) là:

\((A)\left\{ \matrix{
x = - 2 + 4t \hfill \cr
y = - 6t \hfill \cr
z = 1 + 2t \hfill \cr} \right.\)

\((B)\left\{ \matrix{
x = - 2 + 2t \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = 1 + t \hfill \cr} \right.\);

\((C)\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr
y = - 3t \hfill \cr
z = - 1 + t \hfill \cr} \right.\);

\((D)\left\{ \matrix{
x = 4 + 2t \hfill \cr
y = - 6 - 3t \hfill \cr
z = 2 + t \hfill \cr} \right.\).

Giải

Chọn (C) \(\left\{ \matrix{
x = 2 + 2t \hfill \cr 
y = - 3t \hfill \cr 
z = - 1 + t \hfill \cr} \right.\)

Bài 12 trang 96 SGK Hình học 12

Cho \(d\) là đường thẳng đi qua điểm \(A(1 ; 2 ; 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((α): 4x + 3y - 7z + 1 = 0\).

Phương trình tham số của d là:

(A)\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 4t \hfill \cr
y = - 2 + 3t \hfill \cr
z = - 3 - 7t \hfill \cr} \right.\);

(B)\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 4t \hfill \cr
y = 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\);

(C)\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 3t \hfill \cr
y = 2 - 4t \hfill \cr
z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\);

(D)\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 8t \hfill \cr
y = - 2 + 6t \hfill \cr
z = - 3 - 14t. \hfill \cr} \right.\)

Giải

Đường thẳng \(d\) vuông góc với mặt phẳng \(\alpha\) nên có véc tơ chỉ phương là:

\(\vec u=(4;3;-7)\)

Phương trình tham số của \(d\) là:

\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 4t \hfill \cr 
y = 2 + 3t \hfill \cr 
z = 3 - 7t \hfill \cr} \right.\)

Chọn (B)

Bài 13 trang 96 SGK Hình học 12

Cho hai đường thẳng

d₁ :\(\left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr
y = 2 + 3t \hfill \cr
z = 3 + 4t \hfill \cr} \right.\)

và

d₂:\(\left\{ \matrix{
x = 3 + 4k \hfill \cr
y = 5 + 6k \hfill \cr
z = 7 + 8k. \hfill \cr} \right.\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) d₁⊥ d₂                           (B) d₁ // d₂

(C) d₁ ≡ d₂                         (D) d₁ và d₂ chéo nhau.

Giải

Chọn (C) d₁ ≡ d₂ 

Bài 14 trang 97 SGK Hình học 12

Cho mặt phẳng \((α) : 2x + y + 3z + 1= 0\) và đường thẳng \(d\) có phương trình tham số :

\(\left\{ \matrix{
x = - 3 + t \hfill \cr
y = 2 - 2t \hfill \cr
z = 1. \hfill \cr} \right.\)

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

(A) \(d ⊥ (α)\) ;

(B) \(d\) cắt \( (α)\) ;

(C) \(d // (α)\) ;

(D) \(d ⊂ (α)\).

Giải

Mặt phẳng \((\alpha)\) có véc tơ pháp tuyến \(\vec n=(2;1;3)\)

Đường thẳng \(d\) có véc tơ chỉ phương \(\vec u=(1;-2;0)\)

\(\vec n.\vec u=0\)

Chọn \(M(-3;2;1)\in d\) thay tọa độ của \(M\) vào phương trình mặt phẳng \((\alpha)\) ta  được:ư

\(2.(-3)+2+3.1+1=0\) do đó \(M\in (\alpha)\)

Hay \(d ⊂ (α)\)

Chọn (D) 

Bài 15 trang 97 SGK Hình học 12

Cho \((S)\) là mặt cầu tâm \(I(2 ; 1 ; -1)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((α)\) có phương trình : \(2x - 2y - z + 3 = 0\).

Bán kính của \((S)\) là:

(A) \(2\) ;              (B) \({2 \over 3}\);                 (C) \({4 \over 3}\);               (D) \({2 \over 9}\) .

Giải

Bán kính của mặt cầu \((S)\) là:

\(r = d(I;(\alpha )) = {{\left| {2.2 - 2.1 - ( - 1) + 3} \right|} \over {\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = {6 \over 3} = 2\)

Chọn (A) 2.

Giaibaitap.me