Bài 1 trang 84 sgk giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a) \({\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1\);

b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}\)= 25;

c) \(2^{x^{2}-3x+2}\) = 4;

d) \({\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2\).

Giải:

a) \({\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1 ={\left( {0,3} \right)^0} \Leftrightarrow 3x - 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}\).

b) \(\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}= 25 ⇔{5^{ - x}} = {5^2} \Leftrightarrow x =  - 2\).

c) \(2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} - 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3\).

d) \({\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2 ⇔ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x+7+1-2x}= 2\) \(⇔ 2^{x - 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x - 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9\).

Bài 2 trang 84 sgk giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a)     \({3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108\);

b)     \({2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28\);

c)     \({64^x}-{8^x}-56 =0\);

d)     \({3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}\).

Giải:

a) Đặt \(t ={3^{2x-1}} > 0\) thì phương trình đã cho trở thành \(t+ 3t = 108 ⇔ t = 27\).

Do đó phương trình đã cho tương đương với

\({3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\).

b) Đặt \(t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0\), phương trình đã cho trở thành \(4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4\).

Phương trình đã cho tương đương với

\({2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3\).

c) Đặt \(t = 8^x> 0\). Phương trình đã cho trở thành

\({t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} - 7\text{ (loại)}\).

Vậy phương trình đã cho tương đương với \(8^x= 8 ⇔ x = 1\).

d) Chia hai vế phương trình cho \(9^x> 0\) ta được phương trình tương đương

\(3.\frac{4^{x}}{9^{x}}\) - 2.\(\frac{6^{x}}{9^{x}}\) = 1 ⇔ 3. \(\left ( \frac{4}{9} \right )^{x}\) - 2.\(\left ( \frac{2}{3} \right )^{x} - 1 = 0\). 

Đặt \(t = \left ( \frac{2}{3} \right )^{x}\) > 0, phương trình trên trở thành

\(3t^2-2t – 1 = 0  ⇔ t = 1\); \(t = -\frac{1}{3}\)( loại).

Vậy phương trình tương đương với \(\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}= 1 ⇔ x = 0\).

Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình logarit

a) \({lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\)

b) \({log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\)

c) \({lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\)

d) \({log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\)

Giải

a) \({lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}\) (1)

TXD: \(D = \left( {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right)\)

Khi đó: (1) \(⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1\) (loại)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

b) \({log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}\)

TXD: \(D = ({{11} \over 2}, + \infty )\)

Khi đó:

\(\eqalign{
& (2) \Leftrightarrow \lg {{x - 1} \over {2x - 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2 \cr
& \Rightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr} \)

Ta thấy \(x = 7\) thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 7\)

c) \({lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}\) (3)

TXD: \((5, +∞)\)

Khi đó:

(3)\( \Leftrightarrow {\log _2}(x - 5)(x + 2)=3\)

\(\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)(x + 2) = 8 \) 

\(\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 6 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.\)

 Loại \(x = -3\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = 6\)

d) \({log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}\) (4)

TXD: \(D = (3 + \sqrt 2 , + \infty )\)

Khi đó:

\(\eqalign{
& (4) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 5 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

 Loại \(x = 2\)

Vậy phương trình (4) có nghiệm là \(x = 5\).

Bài 4 trang 85 sgk giải tích 12

Giải các phương trình lôgarit:

a)  \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\)

b)  \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\)

c)  \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13\)

Giải

a)  \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right)  = \log 5{\rm{x}} - \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
x = - 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2\) 

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 2\)

b)  \({1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
4{\rm{x > 0}} \hfill \cr
{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr
{1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 2 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 0 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x < 2 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = 2\log 2 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} - 4{\rm{x}} - 1 = 4 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
{x^2} - 4{\rm{x}} - 5 = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr
x = - 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = 5\)

c)  \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\)

\(\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\)

\(\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13\)

 \(\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8\)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 8\)

Giaibaitap.me