Bài 1 trang 84 sgk giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a) ${\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1$;

b) $\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}$= 25;

c) $2^{x^{2}-3x+2}$ = 4;

d) ${\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2$.

Giải:

a) ${\left( {0,3} \right)^{3x - 2}} = 1 ={\left( {0,3} \right)^0} \Leftrightarrow 3x - 2=0 ⇔ x = \frac{2}{3}$.

b) $\left ( \frac{1}{5} \right )^{x}= 25 ⇔{5^{ - x}} = {5^2} \Leftrightarrow x =  - 2$.

c) $2^{x^{2}-3x+2} = 4 ⇔ {x^2} - 3x +2=2 \Leftrightarrow x =0;x = 3$.

d) ${\left( {0,5} \right)^{x + 7}}.{\left( {0,5} \right)^{1 - 2x}} = 2 ⇔ \left ( \frac{1}{2} \right )^{x+7+1-2x}= 2$ $⇔ 2^{x - 8} = 2^{1} \Leftrightarrow x - 8 = 1 \Leftrightarrow x = 9$.

Bài 2 trang 84 sgk giải tích 12

Giải các phương trình mũ:

a)     ${3^{2x-1}} + {3^{2x}} =108$;

b)     ${2^{x + 1}} + {2^{x - 1}} + {2^x} = 28$;

c)     ${64^x}-{8^x}-56 =0$;

d)     ${3.4^x}-{2.6^x} = {9^x}$.

Giải:

a) Đặt $t ={3^{2x-1}} > 0$ thì phương trình đã cho trở thành $t+ 3t = 108 ⇔ t = 27$.

Do đó phương trình đã cho tương đương với

${3^{2x{\rm{ }}-{\rm{ }}1}} = {\rm{ }}27 \Leftrightarrow {\rm{ }}2x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3 \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2$.

b) Đặt $t{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} > {\rm{ }}0$, phương trình đã cho trở thành $4t + t + 2t = 28 ⇔ t = 4$.

Phương trình đã cho tương đương với

${2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1}} = {\rm{ }}4 \Leftrightarrow {2^{x{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }}}} = {\rm{ }}{2^{2}} \Leftrightarrow x{\rm{ }} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}2 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}3$.

c) Đặt $t = 8^x> 0$. Phương trình đã cho trở thành

${t^2}-{\rm{ }}t{\rm{ }}-{\rm{ }}56{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }}8;{\rm{ }}t{\rm{ }} = {\rm{ }} - 7\text{ (loại)}$.

Vậy phương trình đã cho tương đương với $8^x= 8 ⇔ x = 1$.

d) Chia hai vế phương trình cho $9^x> 0$ ta được phương trình tương đương

$3.\frac{4^{x}}{9^{x}}$ - 2.$\frac{6^{x}}{9^{x}}$ = 1 ⇔ 3. $\left ( \frac{4}{9} \right )^{x}$ - 2.$\left ( \frac{2}{3} \right )^{x} - 1 = 0$. 

Đặt $t = \left ( \frac{2}{3} \right )^{x}$ > 0, phương trình trên trở thành

$3t^2-2t – 1 = 0  ⇔ t = 1$; $t = -\frac{1}{3}$( loại).

Vậy phương trình tương đương với $\left ( \frac{2}{3} \right )^{x}= 1 ⇔ x = 0$.

Bài 3 trang 84 SGK Giải tích 12

Giải các phương trình logarit

a) ${lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}$

b) ${log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}$

c) ${lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}$

d) ${log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}$

Giải

a) ${lo{g_3}\left( {5x{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}lo{g_3}\left( {7x{\rm{ }} + {\rm{ }}5} \right)}$ (1)

TXD: $D = \left( {{{ - 3} \over 5}, + \infty } \right)$

Khi đó: (1) $⇔ 5x + 3 = 7x + 5 ⇔ x = -1$ (loại)

Vậy phương trình (1) vô nghiệm.

b) ${log\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-{\rm{ }}log\left( {2x{\rm{ }}-{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}2}$

TXD: $D = ({{11} \over 2}, + \infty )$

Khi đó:

$\eqalign{ & (2) \Leftrightarrow \lg {{x - 1} \over {2x - 11}} = \lg 2 \Leftrightarrow {{x - 1} \over {2x - 11}} = 2 \cr & \Rightarrow x - 1 = 4x - 22 \Leftrightarrow x = 7 \cr}$

Ta thấy $x = 7$ thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 7$

c) ${lo{g_2}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}lo{g_2}\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3}$ (3)

TXD: $(5, +∞)$

Khi đó:

(3)$\Leftrightarrow {\log _2}(x - 5)(x + 2)=3$

$\Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)(x + 2) = 8$ 

$\Leftrightarrow {x^2} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 6 \hfill \cr x = - 3 \hfill \cr} \right.$

 Loại $x = -3$

Vậy phương trình có nghiệm $x = 6$

d) ${log{\rm{ }}\left( {{x^2}-{\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}7} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}log{\rm{ }}\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)}$ (4)

TXD: $D = (3 + \sqrt 2 , + \infty )$

Khi đó:

$\eqalign{ & (4) \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 7 = x - 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 5 \hfill \cr x = 2 \hfill \cr} \right. \cr}$

 Loại $x = 2$

Vậy phương trình (4) có nghiệm là $x = 5$.

Bài 4 trang 85 sgk giải tích 12

Giải các phương trình lôgarit:

a)  ${1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}$

b)  ${1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}$

c)  ${\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4{\rm{x}}}}x + {\log _8}x = 13$

Giải

a)  ${1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {1 \over {5{\rm{x}}}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{\rm{x}} > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right)  = \log 5{\rm{x}} - \log 5{\rm{x}}\hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 5 = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {x^2} + x - 6 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr x = - 3;x = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 2$ 

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 2$

b)  ${1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ 4{\rm{x > 0}} \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log {{8{\rm{x}}} \over {4{\rm{x}}}} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr {{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 1 > 0 \hfill \cr {1 \over 2}\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 2 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 0 \hfill \cr \left[ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x < 2 - \sqrt 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = 2\log 2 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr \log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log {2^2} = \log 4 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow\left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr {x^2} - 4{\rm{x}} - 1 = 4 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr {x^2} - 4{\rm{x}} - 5 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x > 2 + \sqrt 5 \hfill \cr x = - 1;x = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 5$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 5$

c)  ${\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13$

$\Leftrightarrow {\log _{{2^{{1 \over 2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13$

$\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 2{\log _2}x + {1 \over 3}{\log _2}x = 13$

 $\Leftrightarrow {{13} \over 3}{\log _2}x = 13 \Leftrightarrow {\log _2}x = 3 \Leftrightarrow x = {2^3} = 8$

Vậy phương trình có nghiệm là $x = 8$

Giaibaitap.me