Bài 4 trang 113- SGK Toán Giải tích 12

Sử dụng phương pháp tích phân tưng phần, hãy tính tích phân:

a)\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx\)   ;      b) \(\int_{1}^{e}x^{2}lnxdx\)

c)\(\int_{0}^{1}ln(1+x))dx\)      ;       d)\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\)

Giải

a) Đặt \(u=x+1\); \(dv=sinxdx\)  \(\Rightarrow du = dx ;v = -cosx\). Khi đó:

 \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(x+1)sinxdx=-(x+1)cosx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}cosxdx\)

\(=1 +sinx|_{0}^{\frac{\pi}{2}}=2\)

b)\(\frac{1}{9}(2e^{3}+1)\). HD:  Đặt u = ln x ,dv = x²dx

c) Đặt 

\(\eqalign{
& u = \ln x \Rightarrow du = {1 \over x}dx \cr
& dv = {x^2}dx \Rightarrow v = {{{x^3}} \over 3} \cr} \)

Do đó ta có:

\(\int\limits_1^e {{x^2}\ln xdx = {{{x^3}} \over 3}.lnx\left| {_1^e - \int\limits_1^e {{{{x^3}} \over 3}dx = {{{e^3}} \over 3} - \left[ {{{{x^3}} \over 9}} \right]} \left| {_1^e} \right.} \right.}\)\(  = {{{e^3}} \over 3} - {{{e^3} - 1} \over 9} = {{2{e^3} + 1} \over 9}\)

d) Ta có :

\(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x-1)e^{x}dx= \int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}dx\)\(-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\)

Đặt \(u= {x^2} - 1\); \(dv{\rm{ }} = {\rm{ }}{e^{ - x}}dx\) \(\Rightarrow du = 2xdx ;v = -e^{-x}\) Khi đó :

\(\int_{0}^{1}(x^{2}-1)e^{-x}=-e^{-x}(x^{2}-1)|_{0}^{1}+2\int_{0}^{1}xe^{-x}dx\)

\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\)

 Vậy : \(\int_{0}^{1}(x^{2}-2x+1)e^{-x}dx\) =\(=-1+2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx-2\int_{0}^{1}x.e^{-x}dx\) = -1

Bài 5 trang 113 - SGK Giải tích 12

Tính các tích phân sau:

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx\)    ;        b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx\)

c) \(\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx\)

Giải

a) \(\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}dx =\frac{1}{3}\int_{0}^{1}(1+3x)^{\frac{3}{2}}d(1+3x)\)

 \(=\frac{1}{3}\frac{2}{5}(1+3x)^{\frac{5}{2}}|_{0}^{1}=4\tfrac{2}{15}\)

b) \(\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x^{3}-1}{x^{2}-1}dx= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{(x-1)(x+1)}dx= \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{x(x+1)+1}{x+1}dx\)

\(=\int_{0}^{\frac{1}{2}}(x+\frac{1}{x+1})dx=(\frac{x^{2}}{2}+ln\left | x+1 \right |)|_{0}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{8}+ln\frac{3}{2}\)

Bài 6 trang 113 - SGK Giải tích 12

Tính tích phân \(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx\) bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số : \(u = 1 - x\);

b) Tính tích phân từng phần.

Giải

a) Đặt \(u = 1 - x \Rightarrow x = 1 - u \Rightarrow dx = - du\).

Khi \(x = 0\) thì \(u = 1\), khi \(x = 1\) thì \(u = 0\). Khi đó:

\(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=\int_{0}^{1}(1-u)u^{5}du=(\frac{1}{6}u^{6}-\frac{1}{7}u^{7})|_{0}^{1}\)\(=\frac{1}{42}.\)

b) Đặt \(u = x\); \(dv = (1 – x)^5dx\)

\(\Rightarrow du = dx\); \(v=-\frac{(1+x)^{6}}{6}\). Khi đó:

\(\int_{0}^{1}x(1-x)^{5}dx=-\frac{x(1-x)^{6}}{6}|_{0}^{1}+\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{6}dx\)

                                  \(=-\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^{6}d(1-x)=-\frac{1}{42}(1-x)^{7}|_{0}^{1}=\frac{1}{42}\).

Giaibaitap.me