Bài 5 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho điểm $M\left( {a;b;c} \right)$.

a) Tìm toạ độ hình chiếu (vuông góc) của M trên các mặt phẳng toạ độ và trên các trục toạ độ.

b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến các mặt phẳng toạ độ, đến các trục toạ độ.

c) Tìm toạ độ của các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ.

Giải

a) Gọi ${M_1}\left( {x;y;0} \right)$ là hình chiếu của điểm $M\left( {a;b;c} \right)$ trên mp(Oxy) thì $\overrightarrow {M{M_1}}  = \left( {x - a,y - b, - c} \right)$ và $\overrightarrow {M{M_1}} .\overrightarrow i  = \overrightarrow {M{M_1}} .\overrightarrow j  = 0$ nên:

$\left\{ \matrix{ x - a = 0 \hfill \cr  y - b = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = a \hfill \cr  y = b \hfill \cr} \right. \Rightarrow {M_1}\left( {a;b;0} \right)$.

Tương tự ${M_2}\left( {0;b;c} \right)$ là hình chiếu của $M\left( {a;b;c} \right)$ trên mp(Oyz)
Và ${M_3}\left( {a;0;c} \right)$ là hình chiếu của $M\left( {a;b;c} \right)$ trên mp(Oxz).
Giả sử ${M_4}\left( {x;0;0} \right)$ là hình chiếu của $M\left( {a;b;c} \right)$ trên trục Ox thì
$\overrightarrow {M{M_4}}  = \left( {x - a; - b; - c} \right)$ và $\overrightarrow {M{M_4}} .\overrightarrow i  = 0$ nên x = a. Vậy ${M_4}\left( {a;0;0} \right)$.
Tương tự ${M_5}\left( {0;b;0} \right)$ và ${M_6}\left( {0;0;c} \right)$ lần lượt là hình chiếu của $M\left( {a;b;c} \right)$ trên trục Oy và Oz.

b) Khoảng cách từ M đến (Oxy) là:

$\eqalign{ & d\left( {M;\left( {Oxy} \right)} \right) = M{M_1} \cr&= \sqrt {{{\left( {a - a} \right)}^2} + {{\left( {b - b} \right)}^2} + {{\left( {c - 0} \right)}^2}} = \left| c \right| \cr  & d\left( {M;\left( {Oyz} \right)} \right) = \left| a \right|;d\left( {M;\left( {Oxz} \right)} \right) = \left| b \right| \cr  & d\left( {M;Ox} \right) = M{M_4} \cr&= \sqrt {{{\left( {a - a} \right)}^2} + {{\left( {b - 0} \right)}^2} + {{\left( {c - 0} \right)}^2}} = \sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr  & d\left( {M;Oy} \right) = \sqrt {{a^2} + {c^2}} ,d\left( {M;Oz} \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \cr}$

c) Gọi $M_1'\left( {x;y;z} \right)$ là điểm đối xứng của M qua mp(Oxy) thì ${M_1}$ là trung điểm của $MM_1'$ nên

$\left\{ \matrix{ {x_{{M_1}}} = {{{x_M} + {x_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr  {y_{{M_1}}} = {{{y_M} + {y_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr  {z_{{M_1}}} = {{{z_M} + {z_{M_1'}}} \over 2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_{M_1'}} = 2{x_{{M_1}}} - {x_M} = 2a - a = a \hfill \cr  {y_{M_1'}} = 2{y_{{M_1}}} - {y_M} = 2b - b = b \hfill \cr  {z_{M_1'}} = 2{z_{{M_1}}} - {z_M} = 0 - c = - c \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow M_1'\left( {a;b; - c} \right)$

Tương tự $M_2'\left( { - a;b;c} \right)$ là điểm đối xứng của M qua mp(Oyz)
Và $M_3'\left( {a; - b;c} \right)$ là điểm đối xứng của M qua mp(Oxz).

Bài 6 trang 81 SKG Hình học 12 Nâng cao

Cho hai điểm $A\left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right)$ và $B\left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)$. Tìm toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là $\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}$), trong đó $k \ne 1$.

Giải

Giả sử $M\left( {x;y;z} \right)$ thỏa mãn $\overrightarrow {MA}  = k\overrightarrow {MB}$ với $k \ne 1$.
Ta có $\overrightarrow {MA}  = \left( {{x_1} - x;{y_1} - y;{z_1} - z} \right),$

$\overrightarrow {MB}  = \left( {{x_2} - x;{y_2} - y;{z_2} - z} \right)$

$\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x_1} - x = k\left( {{x_2} - x} \right) \hfill \cr  {y_1} - y = k\left( {{y_2} - y} \right) \hfill \cr  {z_1} - z = k\left( {{z_2} - z} \right) \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = {{{x_1} - k{x_2}} \over {1 - k}} \hfill \cr  y = {{{y_1} - k{y_2}} \over {1 - k}} \hfill \cr  z = {{{z_1} - k{z_2}} \over {1 - k}} \hfill \cr} \right.$

Bài 7 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {BD}$.

Giải

Ta có $\overrightarrow {BA}  = \left( { - 6;1; - 1} \right);\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3;1} \right)$. Vì ${{ - 6} \over 2} \ne {1 \over 3} \ne {{ - 1} \over 1}$ nên $\overrightarrow {BA}$ và $\overrightarrow {BC}$ không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.
Giả sử $D\left( {x;y;z} \right)$ thì $\overrightarrow {BD}  = \left( {x - 3;y + 3;z - 1} \right)$
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

$\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x - 3 = - 6 + 2 \hfill \cr  y + 3 = 1 + 3 \hfill \cr  z - 1 = - 1 + 1 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = - 1 \hfill \cr  y = 1 \hfill \cr  z = 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy $D\left( { - 1;1;1} \right)$ . Ta có $\overrightarrow {AC}  = \left( {8;2;2} \right)\,;\,\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4;4;0} \right)$ . Do đó:

$\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \over {AC.BD}} = {{ - 32 + 8} \over {\sqrt {72} .\sqrt {32} }} =  - {1 \over 2}$

$\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{2\pi } \over 3}$

Bài 8 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao

a) Tìm toạ độ điểm M thuộc trục Ox sao cho M cách đều hai điểm A(1 ; 2 ; 3) và B(-3 ; -3 ; 2).
b) Cho ba điểm $A\left( {2;0;4} \right)\,;\,\,B\left( {4;\sqrt 3 ;5} \right)$ và $C\left( {\sin 5t,cos3t,sin3t} \right)$. Tìm t để AB vuông góc với OC (O là gốc toạ độ).

Giải

a) Giả sử $M\left( {x;0;0} \right)$ thuộc trục Ox và MA = MB.
Ta có:

$\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\,M{A^2} = M{B^2} \cr  & \Leftrightarrow {\left( {1 - x} \right)^2} + {2^2} + {3^2} = {\left( { - 3 - x} \right)^2} + {\left( { - 3} \right)^2} + {2^2} \cr  & \Leftrightarrow 1 - 2x + {x^2} + 13 = 9 + 6x + {x^2} + 13\cr& \Leftrightarrow x = - 1 \cr  & \Rightarrow M\left( { - 1;0;0} \right) \cr}$

b) Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {AB} = \left( {2;\sqrt 3 ;1} \right)\,;\,\overrightarrow {OC} = \left( {\sin 5t;\cos 3t;\sin 3t} \right) \cr  & AB \bot OC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OC} = 0 \cr  & \Leftrightarrow 2\sin 5t + \sqrt 3 \cos 3t + \sin 3t = 0 \cr  & \Leftrightarrow \sin 5t + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 3t + {1 \over 2}\sin 3t = 0 \cr  & \Leftrightarrow \sin 5t = - \sin \left( {3t + {\pi \over 3}} \right) \cr  & \Leftrightarrow \sin 5t = \sin \left( { - 3t - {\pi \over 3}} \right) \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 5t = - 3t - {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr  5t = \pi + 3t + {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - {\pi \over {24}} + {{k\pi } \over 4} \hfill \cr  t = {{2\pi } \over 3} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr}$

Giaibaitap.me