Bài 1 trang 48 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai?

a) \({x^2} - 2x - 3 > 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {3; + \infty } \right)\)

b) \({x^2} - 2x - 3 < 0\) khi và chỉ khi \(x \in \left[ { - 1;3} \right]\)

Lời giải: 

Xét tam thức bậc hai f(x) = x² – 2x – 3. 

Ta có: a = 1, b = – 2, c = – 3, ∆ = b² – 4ac = (– 2)² – 4 . 1 . (– 3) = 16 > 0.

Khi đó tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 1 và x₂ = 3. 

Lại có hệ số a = 1 > 0, do đó f(x) > 0 với mọi x ∈ (– ∞; – 1) ∪ (3; + ∞) và f(x) < 0 với mọi x ∈ (– 1; 3).

Vậy phát biểu a) đúng và phát biểu b) sai. 

Chú ý: Tại x = – 1 và x = 3, f(x) = 0 nên phát biểu b) sai. 

Bài 2 trang 48 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Tìm nghiệm và lập bảng xét dấu của tam thức bậc hai \(f\left( x \right)\) với đồ thị được cho ở mỗi Hình 224a, 24b, 24c.

a) Quan sát Hình 24a, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại một điểm có tọa độ (2; 0). 

Do đó nghiệm của tam thức bậc hai f(x) là x = 2. 

Phần parabol nằm hoàn toàn phía trên trục hoành trừ điểm có hoành độ x = 2, nên ta có bảng xét dấu tam thức f(x) là: 

b) Quan sát Hình 24b, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có tọa độ là (– 4; 0) và (– 1; 0).

Do đó tam thức bậc hai f(x) có hai nghiệm phân biệt là x₁ = – 4 và x₂ = – 1. 

Trên các khoảng (– ∞; – 4) và (– 1; + ∞), phần parabol nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành nên f(x) < 0. 

Trên khoảng (– 4; – 1), phần parabol nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0.

Ta có bảng xét dấu tam thức f(x) sau: 

c) Quan sát Hình 24c, ta thấy đồ thị cắt trục hoành tại hai điêm phân biệt có tọa độ (– 1; 0) và (2; 0). 

Do đó tam thức bậc hai f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ = – 1 và x₂ = 2. 

Trên các khoảng (– ∞; – 1) và (2; + ∞), phần parabol nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0. 

Trên khoảng (– 1; 2) phần parabol nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0. 

 Ta có bảng xét dấu tam thức f(x) sau: 

Bài 3 trang 48 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Xét dấu của mỗi tam thức bậc hai sau:

a) \(f\left( x \right) = 3{x^2} - 4x + 1\)

b) \(f\left( x \right) = 9{x^2} + 6x + 1\)

c) \(f\left( x \right) = 2{x^2} - 3x + 10\)

d) \(f\left( x \right) =  - 5{x^2} + 2x + 3\)

e) \(f\left( x \right) =  - 4{x^2} + 8x - 4\)

g) \(f\left( x \right) =  - 3{x^2} + 3x - 1\)

Lời giải:

a) Ta có \(a = 3 > 0,b =  - 4,c = 1\)

\(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 3.1 = 1 > 0\)

\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right)\) có 2 nghiệm \(x = \frac{1}{3},x = 1\). Khi đó:

\(f\left( x \right) > 0\) với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ;\frac{1}{3}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\);

\(f\left( x \right) < 0\) với mọi x thuộc các khoảng \(\left( {\frac{1}{3};1} \right)\)

b) Ta có \(a = 9 > 0,b = 6,c = 1\)

\(\Delta ' = 0\)

\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right)\) có 1 nghiệm \(x =  - \frac{1}{3}\). Khi đó:

\(f\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{1}{3}} \right\}\)

c) Ta có \(a = 2 > 0,b =  - 3,c = 10\)

\(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.10 =  - 71 < 0\)

\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right) > 0\forall x \in \mathbb{R}\)

d) Ta có \(a =  - 5 < 0,b = 2,c = 3\)

\(\Delta ' = {1^2} - \left( { - 5} \right).3 = 16 > 0\)

\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right)\) có 2 nghiệm \(x = \frac{{ - 3}}{5},x = 1\). Khi đó:

\(f\left( x \right) < 0\) với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \infty ; - \frac{3}{5}} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\);

\(f\left( x \right) > 0\) với mọi x thuộc các khoảng \(\left( { - \frac{3}{5};1} \right)\)

e) Ta có \(a =  - 4 < 0,b = 8c =  - 4\)

\(\Delta ' = 0\)

\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right)\) có 1 nghiệm \(x = 2\). Khi đó:

\(f\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\)

g) Ta có \(a =  - 3 < 0,b = 3,c =  - 1\)

\(\Delta  = {3^2} - 4.\left( { - 3} \right).\left( { - 1} \right) =  - 3 < 0\)

\( \Rightarrow \)\(f\left( x \right) < 0\forall x \in \mathbb{R}\)

Bài 4 trang 48 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau:

50 khách đầu tiên có giá là 300 000 đồng/người. Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ có thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách.

a) Gọi x là số lượng khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm. Biểu thị doanh thu theo x.

b) Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng.

Phương pháp:

a) Biểu thị doanh thu theo x.

b) Tìm điều kiện của x để hàm số biểu diễn doanh thu không âm. Xét dấu hàm số.

Lời giải:

a) Gọi x là số lượng người khách từ người thứ 51 trở lên của nhóm nên x∈ℕ*.

Khi đó tổng số khách của nhóm là 50 + x (người). 

Nếu có nhiều hơn 50 người đăng kí thì cứ thêm 1 người, giá vé sẽ giảm 5 000 đồng/người cho toàn bộ hành khách nên thêm x người thì giá vẽ sẽ giảm 5 000x đồng/người. 

 Do đó, giá vé cho mỗi hành khách trong nhóm 50 + x người là: 300 000 – 5 000x (đồng).

Khi đó tổng số tiền vé của nhóm 50 + x người hay chính là doanh thu của công ty là 

DT = (300 000 – 5 000x). (50 + x) = – 5 000x² + 50 000x + 15 000 000. 

b) Vì chi phí thực sự cho chuyến đi là 15 080 000 đồng nên lợi nhuận của công ty là doanh thu trừ đi chi phí thực sự và là 

y = DT – 15 080 000 

= (– 5 000x² + 50 000x + 15 000 000) – 15 080 000 

= – 5 000x² + 50 000x – 80 000   (đồng)

Xét tam thức bậc hai y = f(x) = – 5 000x² + 50 000x – 80 000. 

Nhận thấy f(x) có hai nghiệm là x₁ = 2, x₂ = 8 và hệ số a = – 5 000 < 0. Ta có bảng xét dấu sau: 

Vì x∈ℕ* nên công ty không lỗ (hay lời hoặc hòa vốn) khi f(x) ≥ 0, tức là 2 ≤ x ≤ 8.

Do đó, số lượng khách từ người thứ 51 trở lên nhiều nhất là 8 người thì công ty du lịch không bị lỗ hay số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là 50 + 8 = 58 người. 

Vậy số người của nhóm du lịch nhiều nhất là 58 người thì công ty không bị lỗ. 

Bài 5 trang 48 SGK Toán lớp 10 tập 1 Cánh diều:

Bộ phận nghiên cứu thị trường của một xí nghiệp xác định tổng chi phí để sản xuất

\(Q\) sản phẩm là \({Q^2} + 180Q + 140000\)(nghìn đồng). Giả sử giá mỗi sản phẩm bán ra

thị trường là 1 200 nghìn đồng.

a) Xác định lợi nhuận xí nghiệp thu được sau khi bán hết \(Q\) sản phẩm đó, biết rằng lợi nhuận là hiệu của doanh thu trừ đi tổng chi phí để sản xuất.

b) Xí nghiệp sản xuất bao nhiều sản phẩm thì hoà vốn?

c) Xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm là bao nhiêu để không bị lỗ?

Lời giải:

a) Doanh thu khi bán hết Q sản phẩm là 1200Q (nghìn đồng)

Lợi nhuận bán hết Q sản phẩm là:

\(\begin{array}{l}1200Q - \left( {{Q^2} + 180Q + 140000} \right)\\ =  - {Q^2} + 1020Q - 140000\end{array}\)

b) Để xí nghiệp hòa vốn thì: Lợi nhuận bằng 0.

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow  - {Q^2} + 1020Q - 140000 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}Q \approx 857\\Q \approx 163\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy xí nghiệp sản xuất 163 sản phẩm hoặc 857 sản phẩm thì hòa vốn.

c) Để không bị lỗ thì lợi nhuận lớn hơn hoặc bằng 0.

Khi đó:

\(\begin{array}{l} - {Q^2} + 1020Q - 140000 \ge 0\\ \Leftrightarrow 163,45 \le Q \le 857,55\\ \Rightarrow 164 \le Q \le 857\end{array}\)

Vậy để không bị lỗ thì xí nghiệp cần sản xuất số sản phẩm nằm trong khoảng 164 đến 857.

Giaibaitap.me