Bài 3.25 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho đường tròn (C) : \({(x + 1)^2} + {(y - 2)^2} = 9\) và điểm M(2;-1).

a) Chứng tỏ rằng qua M ta vẽ được hai tiếp tuyến \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C), hãy viết phương trình của \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\).

b) Gọi \({M_1}\) và \({M_2}\) lần lượt là hai tiếp điểm của  \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) với (C) , hãy viết phương trình của đường thẳng d đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\)

Gợi ý làm bài

a) (C) có tâm I(-1;2) và có bán kính R = 3. Đường thẳng  đi qua M(2;-1) và có hệ số góc k có phương trình: 

\(y + 1 = k\left( {x - 2} \right) \Leftrightarrow kx - y - 2k - 1 = 0\)

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với (C)  \( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R\)

\( \Leftrightarrow {{\left| { - k - 2 - 2k - 1} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 3\)

\(\Leftrightarrow \left| {k + 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\(\Leftrightarrow {k^2} + 2k + 1 = {k^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow k = 0.\)

Vậy ta được tiếp tuyến \({\Delta _1}:y + 1 = 0.\)

Xét đường thẳng \({\Delta _2}\) đo qua M(2;-1) và vuông góc với Ox, \({\Delta _2}\) có phương trình x - 2 = 0. Ta có:

\(d\left( {I;{\Delta _2}} \right) = \left| { - 1 - 2} \right| = 3 = R\)

Suy ra \({\Delta _2}\) tiếp xúc với (C) . 

Vậy qua điểm M ta vẽ được hai tiếp tuyến với  (C), đó là: 

\({\Delta _1}:y + 1 = 0\) và \({\Delta _2}:x - 2 = 0\)

b) \({\Delta _1}\) tiếp xúc với (C)  tại \({M_1}\left( { - 1; - 1} \right)\)

\({\Delta _2}\) tiếp xúc với (C)  tại \({M_2}\left( {2;2} \right)\)

Phương trình của đường thẳng d đi qua \({M_1}\) và \({M_2}\) là: x - y = 0.

Bài 3.26 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) có phương trình \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) biết rằng tiếp tuyến đó đi qua gốc tọa độ O.

Gợi ý làm bài

Đường tròn (C) :\({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\) có tâm I(4;3) và bán kính R = 5. 

Cách 1: xét đường thẳng \(\Delta \) đi qua gốc tọa độ O và có hệ số góc k, \(\Delta\) có phương trình y - kx = 0

Ta có: \(\Delta \) tiếp xúc với (C)  \(\Leftrightarrow d(I,\Delta ) = R\)

\( \Leftrightarrow {{\left| {3 - 4k} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 5\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3 - 4k} \right)^2} = 25({k^2} + 1)\)

\( \Leftrightarrow 9 + 16{k^2} - 24k = 25{k^2} + 25\)

\( \Leftrightarrow 9{k^2} + 24k + 16 = 0\)

\( \Leftrightarrow k =  - {4 \over 3}.\)

Vậy ta được phương trình tiếp tuyến là: \(y + {4 \over 3}x = 0\) hay 4x + 3y = 0

Cách 2: Do tọa độ O(0;0) thỏa mãn phương trình của (C) nên điểm O nằm trên (C). Tiếp tuyến với (C) tại O có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {OI}  = (4;3)\)

Suy ra \(\Delta \) có phương trình

4x + 3y = 0.

Bài 3.27 trang 152 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Cho hai đường tròn (C1) : \({x^2} + {y^2} - 6x + 5 = 0\)

và     (C2) : \({x^2} + {y^2} - 12x - 6y + 44 = 0\)

a) Tìm câm và bán kính của (C 1)  và (C 2)  .

b) Lập phương trình tiếp tuyến chung của (C 1)  và (C 2). 

Gợi ý làm bài

a) (C 1) có tâm có bán kính \({R_1} = 2\);

    (C 2) có tâm có bán kính \({R_2} = 1\).

b) Xét đường thẳng \(\Delta \) có phương trình:

\(y = kx + m\) hay \(kx - y + m = 0\). Ta có:

\(\Delta\) tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

\(\left\{ \matrix{
d({I_1},\Delta ) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},\Delta ) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{{\left| {3k + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 2(1) \hfill \cr
{{\left| {6k - 3 + m} \right|} \over {\sqrt {{k^2} + 1} }} = 1.(2) \hfill \cr} \right.\)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\left| {3k + m} \right| = 2\left| {6k - 3 + m} \right|\)

Trường hợp 1: \(3k + m = 2(6k - 3 + m) \Leftrightarrow m = 6 - 9k\) (3)

Thay vào (2) ta được

\(\left| {6k - 3 + 6 - 9k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {3 - 3k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow 9 - 18k + 9{k^2} = {k^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow 8{k^2} - 18k + 8 = 0\)

\(\Leftrightarrow 4{k^2} - 9k + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{k_1} = {{9 + \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr
{k_2} = {{9 - \sqrt {17} } \over 8} \hfill \cr} \right.\)

Thay giá trị của k vào (3) ta tính được

\(\left[ \matrix{
{k_1} = 6 - 9{k_1} \hfill \cr
{k_2} = 6 - 9{k_2} \hfill \cr} \right.\)

Vậy ta được hai tiếp tuyến

\({\Delta _1}:y = {k_1}x + 6 - 9{k_1};\)

\({\Delta _2}:y = {k_2}x + 6 - 9{k_2}.\)

Trường hợp 2: 

\(\eqalign{
& 3k + m = - 2(6k - 3 + m) \cr
& \Leftrightarrow 3m = 6 - 15k \cr} \)

\( \Leftrightarrow m = 2 - 5k\) (4)

Thay vào (2) ta được

\(\left| {6k - 3 + 2 - 5k} \right| = \sqrt {{k^2} + 1}  \Leftrightarrow \left| {k - 1} \right| = \sqrt {{k^2} + 1} \)

\( \Leftrightarrow {(k - 1)^2} = {k^2} + 1\)

\(\Leftrightarrow {k^2} - 2k + 1 = {k^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow k = 0.\)

Thay giá trị của k vào (4) ta được m = 2.

Vậy ta được tiếp tuyến

\({\Delta _3}:y = 2.\)

Xét đường thẳng \({\Delta _4}\) vuông góc với Ox tại \({x_0}\):

\({\Delta _4}:x - {x_0} = 0.\)

\({\Delta _4}\) tiếp xúc vơi (C 1)  và (C 2) khi và chỉ khi

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
d({I_1},{\Delta _4}) = {R_1} \hfill \cr
d({I_2},{\Delta _4}) = {R_2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left| {3 - {x_0}} \right| = 2 \hfill \cr
\left| {6 - {x_0}} \right| = 1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_0} = 1 \vee {x_0} = 5 \hfill \cr
{x_0} = 5 \vee {x_0} = 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow {x_0} = 5. \cr} \)

Vậy ta được tiếp tuyến: \({\Delta _4}:x - 5 = 0\)

Tóm lại hai đường tròn (C 1)  và (C 2) có bốn tiếp tuyến chung \({\Delta _1}\), \({\Delta _2}\), \({\Delta _3}\) và \({\Delta _4}\)

Giaibaitap.me