Bài 2.33 trang 102 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Gọi \({m_a},{m_b},{m_c}\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC.

a) Tính \({m_a}\), biết rằng a = 26, b = 18, c = 16

b) Chứng minh rằng: \(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\)

Gợi ý làm bài

a) \(m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} = {{{{18}^2} + {{16}^2}} \over 2} - {{{{26}^2}} \over 4}\)

\(\eqalign{
& = {{324 + 256} \over 2} - {{676} \over 4} = {{484} \over 4} \cr
& = > {m_a} = {{22} \over 2} = 11 \cr} \)

b) \(\left\{ \matrix{
m_a^2 = {{{b^2} + {c^2}} \over 2} - {{{a^2}} \over 4} \hfill \cr
m_b^2 = {{{a^2} + {c^2}} \over 2} - {{{b^2}} \over 4} \hfill \cr
m_c^2 = {{{a^2} + {b^2}} \over 2} - {{{c^2}} \over 4} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m_a^2 = 2({b^2} + {c^2}) - {a^2} \hfill \cr
m_b^2 = 2({a^2} + {c^2}) - {b^2} \hfill \cr
m_c^2 = 2({a^2} + {b^2}) - {c^2} \hfill \cr} \right.\)

Ta suy ra: \(4(m_a^2 + m_{_b}^2 + m_{_c}^2) = 3({a^2} + {b^2} + {c^2})\)

Bài 2.34 trang 102 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng:

a) 2sinA = sinB + sinC

b) \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\)

Gợi ý làm bài

a) Theo định lý sin ta có: \({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\)

Ta suy ra: \({a \over {\sin A}} = {{b + c} \over {\sin B + \sin C}} = {{2a} \over {\sin B + \sin C}}\)

\( =  > 2sinA = sinB + \sin C\)

b) Đối với tam giác ABC ta có: \(S = {1 \over 2}ab\sin C = {1 \over 2}{h_C}.c = {{abc} \over {4R}}\)

Ta suy ra \({h_c} = {{ab} \over {2R}}\). Tương tự ta có \({h_b} = {{ac} \over {2R}},{h_a} = {{bc} \over {2R}}\).

Do đó:

\({1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = 2R\left( {{1 \over {ac}} + {1 \over {ab}}} \right) = 2R{{b + c} \over {abc}}\) mà b + c = 2a

Nên \({1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}} = {{2R.2a} \over {abc}} = {{2R.2} \over {bc}} = {2 \over {{h_a}}}\)

Vậy \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\)

Bài 2.35 trang 102 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức:

a) \(\sin A = \sin B\cos C + \sin C\cos B\)

b) \({h_a} = 2R\sin B\sin C\)

Gợi ý làm bài

a) Theo định lý sin ta có: \({a \over {\sin A}} = {b \over {\sin B}} = {c \over {\sin C}}\)

Do đó: \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\)

Thay các giá trị này vào biểu thức: \(a = b\cos C + c\cos B\), ta có:

\(2R\sin A = 2R\sin B\cos C + 2R\sin C\cos B\)

\( =  > \sin A = \sin B\cos C + {\mathop{\rm sinCcosB}\nolimits} .\)

Bài 2.36 trang 102 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10

Tam giác ABC có \(bc = {a^2}\). Chứng minh rằng :

a) \({\sin ^2}A = \sin B.\sin C\)

b) \({h_b}.{h_c} = h_a^2\)

Gợi ý làm bài

a) Theo giả thiết ta có: \({a^2} = bc\)

Thay \(a = 2R\sin A,b = 2R\sin B,c = 2R\sin C\) vào hệ thức trên ta có:

\(4{R^2}{\sin ^2}A = 2R\sin B.2R{\mathop{\rm sinC}\nolimits} \)

\( =  > {\sin ^2}A = \sin B.\sin C\)

b) Ta có \(2S = a{h_a} = b{h_b} = c{h_c}\)

 Do đó: \({a^2}h_a^2 = b.c.{h_b}.{h_c}\)

Theo giả thiết: \({a^2} = bc\) nên ta suy ra \(h_a^2 = {h_b}.{h_c}\)

Giaibaitap.me