Bài 1 trang 214 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Xác định parabol $\(y = a{x^2} + bx + c\) trong mỗi trường hợp sau

a) Parabol nhận trục tung làm trục đối xứng và cắt đường thẳng \(y = {x \over 2}\) tại các điểm có hoành độ là -1 và \({3 \over 2}\)

b) Parabol đi qua gốc tọa độ và có đỉnh là điểm (1;2).

c) Parabol đi qua hai điểm A(-1; 2), B(2; 3) và có trục đối xứng là đường thẳng x = 1.

Gợi ý làm bài

a) Vì đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng cho nên hàm số \(f(x) = a{x^2} + bx + c\) là hàm số chẵn, do đó

\(f(x) = a{x^2} + bx + c = a{x^2} - bx + c = f( - x),\forall x\)

Suy ra b = 0. Ta còn phải xác định a và c.

Vì parabol cắt đường thẳng \(y = {x \over 2}\) tại các điểm có hoành độ -1 và \({3 \over 2}\) nên nó đi qua các điểm 

\(( - 1; - {1 \over 2})\) và \(({3 \over 2};{3 \over 4})\)

Ta có hệ phương trình

\(\left\{ \matrix{
a + c = - {1 \over 2} \hfill \cr
{{9a} \over 4} + c = {3 \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được \(a = 1,c =  - {3 \over 2}\)

Parabol phải tìm là \(y = x{}^2 - {3 \over 2}\)

b) Vì parabol đi qua (0;0) nên y(0) = c = 0.

Do parabol có đỉnh là (1 ; 2) nên

\(\left\{ \matrix{
- {b \over {2a}} = 1 \hfill \cr
- {\Delta \over {4a}} = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + b = 0 \hfill \cr
{b^2} + 8a = 0 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ phương trình trên ta được a = -2, b = 4.

Parabol phải tìm là \(y =  - 2{x^2} + 4x\)

c) \(a =  - {1 \over 3},b = {2 \over 3},c = 3\)

Bài 2 trang 214 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Tìm các giá trị của k sao cho phương trình 

\((k - 1){x^2} + (k + 4)x + k + 7 = 0\)

có các nghiệm bằng nhau.

Gợi ý làm bài

Phương trình \((k - 1)x_{}^2 + (k + 4)x + k + 7 = 0\) có các nghiệm bằng nhau 

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \Delta = (k + 4)_{}^2 - 4(k - 1)(k + 7) = 0 \cr
& \Leftrightarrow - 3k_{}^2 - 16k + 44 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k = 2 \hfill \cr
k = - {{22} \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bài 3 trang 214 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Với những giá trị nào của a, hiệu giữa hai nghiệm của phương trình 

\(2{x^2} - (a + 1)x + (a - 1) = 0\)

bằng tích của chúng?

Gợi ý làm bài

Ta có: \(\Delta  = {(a + 1)^2} - 8(a - 1) = {a^2} + 2a + 1 - 8a + 8\)

\({a^2} - 6a + 9 = {(a - 3)^2} \ge 0\) nên phương trình đã cho có nghiệm

Xét \({({x_1} - {x_2})^2} = {({x_1} + {x_2})^2} - 4{x_1}{x_2} = x_1^2x_2^2\)

Hay \({\left( {{{a + 1} \over 2}} \right)^2} - 4.{{a - 1} \over 2} = {\left( {{{a - 1} \over 2}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow  - 4a + 8 = 0 \Leftrightarrow a = 2\)

Đáp số: a = 2

Bài 4 trang 214 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Hãy xác định k để hiệu giữa các nghiệm của phương trình \(5{x^2} - kx + 1 = 0\) bằng 1.

Gợi ý làm bài

Cần có: \(\Delta  = {k^2} - 20 > 0\)

Xét \({x_1} - {x_2} = ({x_1} + {x_2}) - 2{x_2} = 1 =  > {k \over 5} - 2{x_2} = 1\)

Suy ra \({x_2} = {{k - 5} \over {10}},{x_2} = 1 + {x_1} = {{k + 5} \over {10}}\)

Do đó

\({x_1}{x_2} = {{k - 5} \over {10}}.{{k + 5} \over {10}} = {1 \over 5} \Leftrightarrow {k^2} = 45\)

Đáp số: \(k =  \pm 3\sqrt 5 \)

Giaibaitap.me