Bài 1 trang 59 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) \(y = 4{x^2} - 1\)
b) \(y = \dfrac{1}{{{x^2} + 1}}\)
c) \(y = 2 + \dfrac{1}{x}\)
Tập xác định của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp tất cả các số thực x sao cho biểu thức \(f(x)\) có nghĩa.
\(\frac{A}{B}\) có nghĩa \( \Leftrightarrow B \ne 0\)
a) Biểu thức \(4{x^2} - 1\) có nghĩa với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy tập xác định của hàm số này là \(D = \mathbb{R}\)
b) Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi \({x^2} + 1 \ne 0,\)tức là với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Vậy tập xác định của hàm số này là \(D = \mathbb{R}\)
c) Biểu thức \(f(x)\) có nghĩa khi và chỉ khi \(\frac{1}{x}\) có nghĩa, tức là khi \(x \ne 0,\)
Vậy tập xác định của hàm số này là \(D = \mathbb{R}{\rm{\backslash }}\{ 0\} \)
Bài 2 trang 59 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Tìm điều kiện của m để mỗi hàm số sau là hàm số bậc hai:
a) \(y = (1 - 3m){x^2} + 3\)
b) \(y = (4m - 1){(x - 7)^2}\)
c) \(y = 2({x^2} + 1) + 11 - m\)
Phương pháp:
Hai số bậc hai (biến x) có dạng \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) với \(a,b,c \in \mathbb{R}\)và \(a \ne 0\)
Điều kiện: là đa thức bậc hai với hệ số thực, hệ số a khác 0.
a) Để hàm số \(y = (1 - 3m){x^2} + 3\) là hàm số bậc hai thì: \(1 - 3m \ne 0\) tức là \(m \ne \frac{1}{3}\)
Vậy \(m \ne \frac{1}{3}\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.
b) Để hàm số \(y = (4m - 1){(x - 7)^2}\) là hàm số bậc hai thì: \(4m - 1 \ne 0\) tức là \(m \ne \frac{1}{4}\)
Vậy \(m \ne \frac{1}{4}\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.
c) Để hàm số \(y = 2({x^2} + 1) + 11 - m\) là hàm số bậc hai thì: \(2 \ne 0\) và \(m \in \mathbb R\)
Vậy \(m \in \mathbb R\) thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.
Bài 3 trang 59 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Vẽ đồ thị các hàm số sau:
a) \(y = {x^2} - 4x + 3\)
b) \(y = - {x^2} - 4x + 5\)
c) \(y = {x^2} - 4x + 5\)
d) \(y = - {x^2} - 2x - 1\)
+ Xác định đỉnh \(S(\frac{{ - b}}{{2a}};f(\frac{{ - b}}{{2a}}))\)
+ Trục đối xứng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.
+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).
b)
+ Xác định đỉnh \(S(\frac{{ - b}}{{2a}};f(\frac{{ - b}}{{2a}}))\)
+ Trục đối xứng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.
+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).
c)
+ Xác định đỉnh \(S(\frac{{ - b}}{{2a}};f(\frac{{ - b}}{{2a}}))\)
+ Trục đối xứng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.
+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).
d)
+ Xác định đỉnh \(S(\frac{{ - b}}{{2a}};f(\frac{{ - b}}{{2a}}))\)
+ Trục đối xứng \(x = \frac{{ - b}}{{2a}}\)
+ Bề lõm: quay lên trên (nếu a>0), quay xuống dưới nếu a<0.
+ Giao với trục tung tại điểm có tọa độ (0; c).
Trả lời:
a) y = x2 – 4x + 3
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x2 – 4x + 3 là một parabol (P1):
- Có đỉnh S với hoành độ xS = 2, tung độ yS = -1;
- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 3).
Ngoài ra, phương trình x2 – 4x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = 3 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (3; 0).
Ta có đồ thị sau:
b) y = - x2 – 4x + 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = – x2 – 4x + 5 là một parabol:
- Có đỉnh S với hoành độ xS = -2, tung độ yS = 9;
- Có trục đối xứng là đường thẳng x = -2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
- Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).
Ngoài ra, phương trình – x2 – 4x + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 = 1 và x2 = -5 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ (1; 0) và (-5; 0).
Ta có đồ thị sau:
c) y = x2 – 4x + 5:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = x2 – 4x + 5 là một parabol:
- Có đỉnh S với hoành độ xS = 2, tung độ yS = 1;
- Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
- Bề lõm quay lên trên vì a > 0;
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 5, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; 5).
Ngoài ra, phương trình x2 – 4x + 5 = 0 vô nghiệm nên đồ thị hàm số không cắt trục hoành.
Ta có đồ thị sau:
d) y = -x2 – 2x – 1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = -x2 – 2x – 1 là một parabol:
- Có đỉnh S với hoành độ xS = -1, tung độ yS = 0;
- Có trục đối xứng là đường thẳng x = -1 (đường thẳng này đi qua đỉnh S và song song với trục Oy);
- Bề lõm quay xuống dưới vì a < 0;
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1, tức là đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0; -1).
Ngoài ra, phương trình -x2 – 2x – 1 = 0 có nghiệm x = - 1 nên đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có tọa độ (-1; 0).
Bài 4 trang 59 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Một vận động viên chạy xe đạp trong 1 giờ 30 phút đầu với vận tốc trung bình là 42km/h. Sau đó người này nghỉ tại chỗ 15 phút và tiếp tục đạp xe 2 giờ liền với vận tốc 30 km/h.
a) Hãy biểu thị quãng đường s (tính bằng kilômét) mà người này đi được sau t phút bằng một hàm số.
b) Vẽ đồ thị biểu diễn hàm số s theo t.
Đổi 1 giờ 30 phút = 90 phút; 42km/h = 0,7km/phút; 30km/h = 0,5km/phút, 2 giờ = 120 phút.
Với t ≤ 90:
Quãng đường người này đi được là: 0,7.t (km). Do đó s(t) = 0,7t.
Với 90 < t ≤ 105:
Sau khi đi được 0,7.90 = 63 km thì người này nghỉ trong khoảng thời gian 15 phút nên khoảng thời gian từ 90 phút đến 105 phút người này giữ quãng đường không đổi là 63 km. Do đó s(t) = 63.
2 giờ sau đó nghĩa là 120 phút sau đó người này đạp xe với vận tốc 30km/h nên quãng đường đi được bao gồm 63km đầu và 0,5.(t – 105) km. Do đó s(t) = 63 + 0,5.(t – 105) = 0,5t + 10,5.
Khi đó ta có hàm số:
b) Với t ≤ 90 thì f(t) = 0,7.t
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm O(0; 0) và A(90; 63).
Với 90 < t ≤ 105 thì f(t) = 63
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua điểm (0; 63) và song song với trục Ox.
Với 105 < t ≤ 225 thì f(t) = 0,5.t + 10,5
Đồ thị hàm số là đường thẳng đi qua hai điểm B(95; 58) và C(225; 123).
Bài 5 trang 59 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Biết rằng hàm số \(y = 2{x^2}{\rm{ + }}mx + n\) giảm trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right),\)tăng trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) và có tập giá trị là \([9; + \infty )\). Xác định giá trị của m và n.
Phương pháp:
Từ tập giá trị suy ra GTNN của hàm số bằng 9.
Lập bảng biến thiên, xác định giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Đỉnh S có tọa độ: \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - m}}{{2.2}} = - \frac{m}{4};{y_S} = f( - \frac{m}{4})\)
Vì hàm số bậc hai có \(a = 2 > 0\) nên ta có bảng biến thiên sau:
Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(f( - \frac{m}{4}).\)
Hàm số giảm trên \(( - \infty ; - \frac{m}{4})\) và tăng trên \(( - \frac{m}{4}; + \infty )\)
Theo giả thiết, ta có:
Hàm số giảm trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right)\)\( \Rightarrow \left( { - \infty ;1} \right) \subset ( - \infty ; - \frac{m}{4}) \Leftrightarrow 1 \le - \frac{m}{4}.\)
Tương tự hàm số tăng trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)\( \Rightarrow \left( {1; + \infty } \right) \subset ( - \frac{m}{4}; + \infty ) \Leftrightarrow - \frac{m}{4} \le 1.\)
Do đó: \( - \frac{m}{4} = 1\) hay \(m = - 4\)
Lại có: Tập giá trị là \([9; + \infty )\)\( \Rightarrow \)Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 9.
\( \Leftrightarrow f(1) = f( - \frac{m}{4}) = 9 \Leftrightarrow {2.1^2} - ( - 4).1 + n = 9 \Leftrightarrow n = 3.\)
Vậy \(m = - 4,n = 3.\)
Bài 6 trang 59 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Nhảy bungee là một trò chơi mạo hiểm. Trong trò chơi này, người chơi đứng ở vị trí trên cao, thắt dây an toàn và nhảy xuống. Sợi dây này có tính đàn hồi và được tính toán chiều dài để nó kéo người chơi lại khi gần chạm đất (hoặc mặt nước). Chiếc cầu trong Hình 1 có bộ phận chống đỡ dạng parabol. Một người muốn thực hiện một cú nhày bungee từ giữa cầu xuống với dây an toàn. Người này cần trang bị sợi dây an toàn dài bao nhiêu mét? Biết rằng chiều dài của sợi dây đó bằng một phần ba khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước.
Gắn hệ trục tọa độ, gọi công thức của hàm số có đồ thị là hình ảnh của bộ phận chống đỡ.
Xác định hàm số và xác định tung độ của đỉnh.
Trả lời:
Gọi \(y = f(x) = a{x^2} + bx + c\) là công thức của hàm số có đồ thị là hình ảnh của bộ phận chống đỡ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:
Gọi S là đỉnh của parabol, dưới vị trí nhảy 1m.
A, B là các điểm như hình vẽ.
Dễ thấy: A (48; 46,2) và B (117+48; 0) = (165; 0).
Các điểm O, A, B đều thuộc đồ thị hàm số.
Do đó:
\(f(0) = a{.0^2} + b.0 + c = 0 \Leftrightarrow c = 0\)
\(f(48) = a{.48^2} + b.48 + c = 46,2 \Leftrightarrow a{.48^2} + b.48 = 46,2\)
\(f(165) = a{.165^2} + b.165 + c = 0 \Leftrightarrow a{.165^2} + b.165 = 0 \Leftrightarrow a.165 + b = 0\)
Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}a{.48^2} + b.48 = 46,2\\a.165 + b = 0\end{array} \right.\) ta được \(a = - \frac{{77}}{{9360}};b = \frac{{847}}{{624}}\)
Vậy \(y = f(x) = - \frac{{77}}{{9360}}{x^2} + \frac{{847}}{{624}}x\)
Đỉnh S có tọa độ là \({x_S} = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - \frac{{847}}{{624}}}}{{2.\left( { - \frac{{77}}{{9360}}} \right)}} = 82,5;\;{y_S} = - \frac{{77}}{{9360}}.82,{5^2} + \frac{{847}}{{624}}.82,5 \approx 56\)
Khoảng cách từ vị trí bắt đầu nhảy đến mặt nước là: \(1 + 56 + 43 = 100(m)\)
Vậy chiều dài của sợi dây đó là: \(100:3 = \frac{{100}}{3} \approx 33,33\,(m)\)
Câu hỏi:
Giả sử một máy bay cứu trợ đang bay theo phương ngang và bắt đầu thả hàng từ độ cao 80 m, lúc đó máy bay đang bay với vận tốc 50 m/s. Để thùng hàng cứu trợ rơi đúngvị trí được chọn, máy bay cần bắt đầu thả hàng từ vị trí nào? Biết rằng nếu chọn gốc toạ độ là hình chiếu trên mặt đất của vị trí hàng cứu trợ bắt đầu được thả, thì toạ độ của hàng cứu trợ được cho bởi hệ sau:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = {v_0}t\\y = h - \frac{1}{2}g{t^2}\end{array} \right.\)
Trong đó, \({v_0}\) là vận tốc ban đầu và h là độ cao tính từ khi hàng rời máy bay.
Lưu ý: Chuyển động này được xem là chuyển động ném ngang.
Trả lời:
Gắn hệ trục tọa độ Oxy như hình dưới:
Gọi A vị trí hàng rơi xuống, khi đó \({y_A} = 0\). Ta có, tọa độ của A thỏa mãn:
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 50t\\y = 80 - \frac{1}{2}.9,8.{t^2}\end{array} \right.\)
Mà \({y_A} = 0 \Rightarrow 0 = 80 - \frac{1}{2}.9,8.{t^2} \Leftrightarrow {t^2} \approx 16,33 \Rightarrow t \approx 4(s)\)
Do đó \({x_A} = 50.4 = 200(m)\) hay khoảng cách giữa máy bay và thùng hàng cứu trợ là 200m.
Vậy để thùng hàng cứu trợ rơi đúng vị trí được chọn thì máy bay cần thả hàng khi cách điểm đó 200m.
Giải bài tập Toán 10 trang 65 Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài 1: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ. Bài 4 : Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) sinA = sin(B + C); b) cosA = – cos(B + C).
Giải bài tập Toán 10 trang 72, 73 Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài 2: Định lí côsin và định lí sin. Bài 1 : Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau :
Giải bài tập Toán 10 trang 77, 78 Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài 3: Giải tam giác và ứng dụng thực tế. Bài 1 : Giải tam giác ABC trong các trường hợp sau:
Giải bài tập Toán 10 trang 78, 79 Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài tập cuối chương 4. Bài 5 : Cho hình bình hành ABCD. a) Chứng minh 2(AB2 + BC2) = AC2 + BD2.
