a) Nếu hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng phương với $\overrightarrow c$ thì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương

b) Nếu hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ cùng ngược hướng với $\overrightarrow c$ thì $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng

Phương pháp: 

Nhận xét về giá và hướng của hai vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ với vectơ $\overrightarrow c$ để rút ra kết luận.

Trả lời: 

a)      

+) Vectơ $\overrightarrow a$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow c$ nên giá của vectơ $\overrightarrow a$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow c$

+) Vectơ $\overrightarrow b$ cùng phương với vectơ $\overrightarrow c$ nên giá của vectơ $\overrightarrow b$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow c$

Suy ra giá của vectơ $\overrightarrow a$ và vectơ $\overrightarrow b$ song song với nhau nên $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương

Vậy khẳng định trên đúng

b) Giả sử vectơ $\overrightarrow c$ có hướng từ A sang B

+) Vectơ $\overrightarrow a$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow c$ nên giá của vectơ $\overrightarrow a$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow c$ và có hướng từ B sang A

+) Vectơ $\overrightarrow b$ ngược hướng với vectơ $\overrightarrow c$ nên giá của vectơ $\overrightarrow b$ song song với giá của vectơ $\overrightarrow c$ và có hướng từ B sang A

Suy ra, hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng

Vậy khẳng định trên đúng

Bài 2 trang 102 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Câu hỏi:

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài các vectơ $\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD}$

b) Tìm trong hình ảnh vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt {10} }}{2}$

Phương pháp: 

a) Bước 1: Tính độ dài AC, BD

    Bước 2: Tính độ dài vectơ $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB$

b) Bước 1: Tìm các đoạn thẳng có độ dài là $\frac{{a\sqrt {10} }}{2}$

    Bước 2: Từ các đoạn thẳng trên xác định các vecto cùng phương (giá song song hoặc trùng nhau) nhưng ngược

hướng.

Trả lời: 

a) Ta có:

$AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}}  = a\sqrt {10}$

+) $\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt {10}$

+) $\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = a\sqrt {10}$

b) O là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:

$AO = OC = BO = OD = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}$

Dựa vào hình vẽ ta thấy AO và CO cùng nằm trên một đường thẳng; BO và DO cùng nằm trên một đường thẳng

Suy ra các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{{a\sqrt {10} }}{2}$ là:

$\overrightarrow {OA}$ và $\overrightarrow {OC}$; $\overrightarrow {AO}$ và $\overrightarrow {CO}$; $\overrightarrow {OB}$ và $\overrightarrow {OD}$; $\overrightarrow {BO}$ và $\overrightarrow {DO}$

Câu hỏi:

Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AN}$ (hình 1)

a) Tìm tổng của các vectơ:

$\overrightarrow {NC}$ và $\overrightarrow {MC}$; $\overrightarrow {AM}$ và $\overrightarrow {CD}$; $\overrightarrow {AD}$ và $\overrightarrow {NC}$

b) Tìm các vectơ hiệu:

$\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {MC}$; $\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}$; $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {ME}$.

 c) Chứng minh $\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$

Phương pháp:

a) Chỉ ra các hình bình hành, từ đó suy ra các vectơ bằng nhau và vận dụng quy tắc hình bình hành.

b) Quy tắc hiệu: $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {CB}$, quy tắc ba điểm $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AO}  + \overrightarrow {OB}$ và thay thế các vectơ bằng nhau $\overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {AD}$

c) Thay thế các vectơ bằng nhau $\overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {MC}$; sử dụng quy tắc hình bình hành $\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$ (với ABCD là hình bình hành)

Trả lời: 

a) Ta có: $\overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow CE//AN$ và $CE = AN = ND = BM = MC$

Suy ra $\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CE}$

+) $\overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CE}  = \overrightarrow {NE}$

+) ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {BA}$

$\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {BM}$

+) Ta có $\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AN}  \Rightarrow AMCN$ là hình bình hành nên $\overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AM}$

$\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {NC}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AE}$ (vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

+) $\overrightarrow {NC}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {NC}  + \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {NM}$

+) $\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow {AB}$

+) $\overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {ME}  = \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {DB}$

c) Ta có:

$\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {AC}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

$\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AC}$

Từ đó suy ra $\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD}$ (đpcm)

Câu hỏi:

Cho $\overrightarrow a ,\overrightarrow b$ là hai vectơ khác vectơ $\overrightarrow 0$. Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|$;

b) $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|$ .

Phương pháp: 

Sử dụng tính chất ${\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$

Trả lời: 

a) $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$

$\Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$

$\Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|$

$\Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ$

Vậy $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a , \,\overrightarrow b$ cùng hướng.

b) $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right|^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right)^2}$

$\Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}$

$\Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  =  - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  \Leftrightarrow 4\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0$

$\Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ$

Vậy $\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a  - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a ,\overrightarrow b$ vuông góc với nhau.

Bài 6 trang 103 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo