Bài 1 trang 102 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
a) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng phương với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
b) Nếu hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) cùng ngược hướng với \(\overrightarrow c \) thì \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng
Phương pháp:
Nhận xét về giá và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) với vectơ \(\overrightarrow c \) để rút ra kết luận.
Trả lời:
a)
+) Vectơ \(\overrightarrow a \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow c \) nên giá của vectơ \(\overrightarrow a \) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow c \)
+) Vectơ \(\overrightarrow b \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow c \) nên giá của vectơ \(\overrightarrow b \) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow c \)
Suy ra giá của vectơ \(\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow b \) song song với nhau nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương
Vậy khẳng định trên đúng
b) Giả sử vectơ \(\overrightarrow c \) có hướng từ A sang B
+) Vectơ \(\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow c \) nên giá của vectơ \(\overrightarrow a \) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow c \) và có hướng từ B sang A
+) Vectơ \(\overrightarrow b \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow c \) nên giá của vectơ \(\overrightarrow b \) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow c \) và có hướng từ B sang A
Suy ra, hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng
Vậy khẳng định trên đúng
Bài 2 trang 102 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.
a) Tính độ dài các vectơ \(\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} \)
b) Tìm trong hình ảnh vectơ đối nhau và có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Phương pháp:
a) Bước 1: Tính độ dài AC, BD
Bước 2: Tính độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB\)
b) Bước 1: Tìm các đoạn thẳng có độ dài là \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Bước 2: Từ các đoạn thẳng trên xác định các vecto cùng phương (giá song song hoặc trùng nhau) nhưng ngược
hướng.
Trả lời:
a) Ta có:
\(AC = BD = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {3a} \right)}^2}} = a\sqrt {10} \)
+) \(\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC = a\sqrt {10} \)
+) \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD = a\sqrt {10} \)
b) O là giao điểm của hai đường chéo nên ta có:
\(AO = OC = BO = OD = \frac{{a\sqrt {10} }}{2}\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy AO và CO cùng nằm trên một đường thẳng; BO và DO cùng nằm trên một đường thẳng
Suy ra các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng \(\frac{{a\sqrt {10} }}{2}\) là:
\(\overrightarrow {OA} \) và \(\overrightarrow {OC} \); \(\overrightarrow {AO} \) và \(\overrightarrow {CO} \); \(\overrightarrow {OB} \) và \(\overrightarrow {OD} \); \(\overrightarrow {BO} \) và \(\overrightarrow {DO} \)
Câu hỏi:
Cho hình thoi ABCD đi có cạnh bằng a và có góc A bằng \(60^\circ \). Tìm độ dài của các vectơ sau: \(\overrightarrow p = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} ;\overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \).
Phương pháp:
Quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \)
Quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (với ABCD là hình bình hành);
Quy tắc hiệu: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \)
Áp dụng các quy tắc trên để xác định vecto \(\overrightarrow p ,\overrightarrow u ,\overrightarrow v \) rồi tính độ dài.
Trả lời:
+) ABCD là hình thoi nên cũng là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có:
\(\overrightarrow p = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
+) \(\overrightarrow u = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {DB} \)
+) \(\overrightarrow v = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right) = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} \)\( = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} \)
Câu hỏi:
Cho hình bình hành ABCD hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AN} \) (hình 1)
a) Tìm tổng của các vectơ:
\(\overrightarrow {NC} \) và \(\overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {CD} \); \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {NC} \)
b) Tìm các vectơ hiệu:
\(\)\(\overrightarrow {NC} - \overrightarrow {MC} \); \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {ME} \).
c) Chứng minh \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \)
Phương pháp:
a) Chỉ ra các hình bình hành, từ đó suy ra các vectơ bằng nhau và vận dụng quy tắc hình bình hành.
b) Quy tắc hiệu: \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {CB} \), quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \) và thay thế các vectơ bằng nhau \(\overrightarrow {ME} = \overrightarrow {AD} \)
c) Thay thế các vectơ bằng nhau \(\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {MC} \); sử dụng quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (với ABCD là hình bình hành)
Trả lời:
a) Ta có: \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {AN} \Rightarrow CE//AN\) và \(CE = AN = ND = BM = MC\)
Suy ra \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CE} \)
+) \(\overrightarrow {NC} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {NE} \)
+) ABCD là hình bình hành nên \(\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BA} \)
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {BA} = \overrightarrow {BM} \)
+) Ta có \(\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AN} \Rightarrow AMCN\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AM} \)
\(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {NC} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AE} \) (vì AMED là hình bình hành)
b) Ta có:
+) \(\overrightarrow {NC} - \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {NC} + \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {NM} \)
+) \(\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow {AB} \)
+) \(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {ME} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {DB} \)
c) Ta có:
\(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow {AC} \)
Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \)
Từ đó suy ra \(\overrightarrow {AM} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \) (đpcm)
Câu hỏi:
Cho \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) là hai vectơ khác vectơ \(\overrightarrow 0 \). Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?
a) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\);
b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|\) .
Phương pháp:
Sử dụng tính chất \({\overrightarrow a ^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}\)
Trả lời:
a) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|} \right)^2} \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + 2.\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2}\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)
\( \Leftrightarrow 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 2\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|\)
\( \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \)
Vậy \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a , \,\overrightarrow b \) cùng hướng.
b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow a } \right)^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b + {\left( {\overrightarrow b } \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 2\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \Leftrightarrow 4\overrightarrow a .\overrightarrow b = 0\)
\( \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 90^\circ \)
Vậy \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right| \Leftrightarrow \overrightarrow a ,\overrightarrow b \) vuông góc với nhau.
Bài 6 trang 103 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 0\). So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \).
\(\overrightarrow a = - \overrightarrow b \) suy ra hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto đối nhau nên chúng cùng phương, ngược hướng và có độ dài bằng nhau.
Bài 7 trang 103 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Chứng minh thông qua ABCD là hình bình hành.
Trả lời:
Với 4 điểm A, B, C, D ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \) khi và chỉ khi tứ giác ABDC là hình bình hành
Theo tính chất của hình bình hành thì giao điểm của hai đường chéo là trung điểm của mỗi đường và ngược lại.
Nói cách khác: trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 8 trang 103 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \overrightarrow 0 \).
Bước 1: Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \)
Bước 2: Xác định các cặp vectơ đối nhau từ các hình bình hành \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ đối nhau với ABCD là hình bình hành
Bước 3: Sử dụng tính chất của vectơ đối \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) là hai vectơ đối nhau thì\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow 0 \)
\(\overrightarrow {RJ} + \overrightarrow {IQ} + \overrightarrow {PS} = \left( {\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {AJ} } \right) + \left( {\overrightarrow {IB} + \overrightarrow {BQ} } \right) + \left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {CS} } \right)\)
\( = \left( {\overrightarrow {RA} + \overrightarrow {CS} } \right) + \left( {\overrightarrow {AJ} + \overrightarrow {IB} } \right) + \left( {\overrightarrow {BQ} + \overrightarrow {PC} } \right) = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)\(\)(đpcm)
Bài 9 trang 103 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía Bắc với tốc độ \(45\)m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc \(20^\circ \) về phía tây bắc (hình 2). Tính tốc độ của gió
Phương pháp:
Bước 1: Dựa vào hình 2 xác định các vectơ tương ứng với vận tốc của máy bay, vận tốc so với mặt đất
Bước 2: Dựa vào mối liên hệ giữa các vectơ đã cho \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} \) xác định vectơ tương ứng với vận tốc gió
Bước 3: Áp dụng định lý cosin tìm tốc độ của gió
Từ giả thiết ta có:
+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay là vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} \)
+) Vectơ tương ứng với vận tốc máy bay so với mặt đất là vectơ \(\overrightarrow v \)
+) Vectơ tương ứng với vận tốc gió là vectơ \(\overrightarrow {{v_2}} \)
Ta có : \(\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 45;\left| {\overrightarrow v } \right| = 38;\left( {\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow v } \right) = 20^\circ \)
Áp dụng định lý cosin ta có:
\(\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow v } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}^2} - 2\left| {\overrightarrow v } \right|.\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|.\cos \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_1}} } \right)} \)
\( = \sqrt {{{38}^2} + {{45}^2} - 2.38.45.\cos 20^\circ } \simeq 16\) (m/s)
Vậy tốc độ của gió gần bằng 16 m/s
Bài 10 trang 103 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạo
Câu hỏi:
Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)
Bước 1: Qua M kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, BC
Bước 2: Xác định các tam giác đều, hình bình hành sau đó áp dụng vào biểu thức vectơ, trong tam giác đều thì đường cao vừa là trung tuyến, quy tắc hình bình hành \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} \) (với ABCD là hình bình hành)
Bước 3: Sử dụng quy tắc ba điểm \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} \), tính chất trọng tâm của tam giác \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \) (với G là trọng tâm của tam giác ABC)
\(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OD} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OE} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OF} } \right)\)
Qua M kẻ các đường thẳng \({M_1}{M_2}//AB;{M_3}{M_4}//AC;{M_5}{M_6}//BC\)
Từ đó ta có: \(\widehat {M{M_1}{M_6}} = \widehat {M{M_6}{M_1}} = \widehat {M{M_4}{M_2}} = \widehat {M{M_2}{M_4}} = \widehat {M{M_3}{M_5}} = \widehat {M{M_5}{M_3}} = 60^\circ \)
Suy ra các tam giác \(\Delta M{M_3}{M_5},\Delta M{M_1}{M_6},\Delta M{M_2}{M_4}\) đều
Áp dụng tính chất trung tuyến \(\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\)(với M là trung điểm của BC) ta có:
\(\overrightarrow {ME} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right);\overrightarrow {MD} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right);\overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
Ta có: các tứ giác \(A{M_3}M{M_1};C{M_4}M{M_6};B{M_2}M{M_5}\) là hình bình hành
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có
\(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} + \overrightarrow {M{M_4}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_3}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_1}} + \overrightarrow {M{M_3}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_2}} + \overrightarrow {M{M_5}} } \right) + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {M{M_4}} + \overrightarrow {M{M_6}} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {MA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {MC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right) + \left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)} \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {3\overrightarrow {MO} + \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right)} \right) = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \) (đpcm)
Vậy \(\overrightarrow {MD} + \overrightarrow {ME} + \overrightarrow {MF} = \frac{3}{2}\overrightarrow {MO} \)
Câu hỏi:
Một xe goòng được kéo bởi một lực \(\overrightarrow F \) có độ lớn là là 50 N, di chuyển theo quãng đường từ A đến B có chiều dài là 200 m. Cho biết góc giữa lực \(\overrightarrow F \) và \(\overrightarrow {AB} \) là \(30^\circ \) và \(\overrightarrow F \) được phân tích thành 2 lực \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} \) (hình 3). Tính công sinh ra bởi các lực \(\overrightarrow F ,\overrightarrow {{F_1}} \) và \(\overrightarrow {{F_2}} \).
Phương pháp:
Bước 1: Sử dụng các tính chất trong tam giác vuông xác định độ lớn của các lực
Bước 2: Xác định góc giữa các lực và hướng dịch chuyển
Bước 3: Sử dụng công thức \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \) (với \(\overrightarrow d \) là vectơ thể hiện độ dịch chuyển và quãng đường mà vật đi được)
Trả lời:
Ta xác định được các độ lớn:
\(\left| {\overrightarrow F } \right| = 50,\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right|\cos 30^\circ = 50.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 25\sqrt 3 ,\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right| = \left| {\overrightarrow F } \right|.\sin 30^\circ = 50.\frac{1}{2} = 25\) (N)
Dựa vào hình vẽ ta có: \(\left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 30^\circ ,\left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow d } \right) = 90^\circ ,\left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow d } \right) = 0^\circ \)
Áp dụng công thức tính công sinh ra bởi lực \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d \) ta có:
\(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow F } \right|\left| {\overrightarrow d } \right|\cos \left( {\overrightarrow F ,\overrightarrow d } \right) = 50.200.\cos 30^\circ = 5000 (J)\)
\({A_1} = \overrightarrow {{F_1}} .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|\left| {\overrightarrow d } \right|\cos \left( {\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow d } \right) = 25.200.\cos 90^\circ = 0 (J)\)
\({A_2} = \overrightarrow {{F_2}} .\overrightarrow d = \left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|\left| {\overrightarrow d } \right|\cos \left( {\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow d } \right) = 25\sqrt 3 .200.\cos 0^\circ = 5000\sqrt 3 (J)\)
Bài 12 trang 103 SGK Toán lớp 10 tập 1 - Chân trời sáng tạoCâu hỏi:
Một chiếc thuyền cố gắng đi thẳng qua một con sông với tốc độ 0,75 m/s. Tuy nhiên dòng chảy của nước trên con sông đó chạy với tốc độ 1,20 m/s về hướng bên phải. Gọi \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow v \) lần lượt là vận tốc của thuyền so với dòng nước, vận tốc của dòng nước so với bờ và vận tốc của thuyền so với bờ.
a) Tính độ dài của các vectơ \(\overrightarrow {{v_1}} ,\overrightarrow {{v_2}} ,\overrightarrow v \)
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là bao nhiêu?
c) Hướng di chuyển của thuyền lệch một góc bao nhiêu so với bờ?
Phương pháp:
a) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông \({c^2} = {a^2} + {b^2}\) (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)
b) Chỉ ra kết quả độ dài vectơ \(\overrightarrow v \) đã tính được ở câu a)
c) Sử dụng tính chất trong tam giác vuông \(\sin B = \frac{a}{c}\) (với c là cạnh huyền của tam giác vuông và a, b là cạnh góc vuông)
Trả lời:
a) Ta có:
\(\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right| = 0,75;\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right| = 1,20\)
Dựa vào hình vẽ ta thấy \(\overrightarrow v = \overrightarrow {{v_1}} + \overrightarrow {{v_2}} \) và \(\overrightarrow {{v_1}} \bot \overrightarrow {{v_2}} \)
Áp dụng tính chất trong tam giác vuông ta có: \({\left| {\overrightarrow v } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|^2} \Rightarrow \left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow {{v_2}} } \right|}^2}} = \sqrt {0,{{75}^2} + 1,{2^2}} = \frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}\)
b) Tốc độ dịch chuyển của thuyền so với bờ là \(\frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}\) m/s
c) Nước có hướng dichuyển song song với bờ nên hướng di chuyển của thuyền so với bờ tương đương với hướng di chuyển của thuyền so với nước
Suy ra góc lệch giữa hướng di chuyển của thuyền và bờ là \(\left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right)\)
Ta có: \(\sin \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{v_1}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow v } \right|}} = \frac{{0,75}}{{\frac{{3\sqrt {89} }}{{20}}}} = \frac{{5\sqrt {89} }}{{89}} \Rightarrow \left( {\overrightarrow v ,\overrightarrow {{v_2}} } \right) \simeq 32^\circ \)
Vậy hướng di chuyển của thuyền lệch một góc \(32^\circ \) so với bờ
Giaibaitap.me
Giải Toán 10 trang 109 Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài 1: Số gần đúng và sai số. Bài 1: Ở Babylon, một tấm đất sét có niên đại khoảng 1900 – 1600 trước Công nguyên đã ghi lại một phát biểu hình học, trong đó ám chỉ ước
Giải bài tập Toán 10 trang 111, 112 Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ. Bài 1: Bảng sau thống kê số lớp và số học sinh theo từng khối ở một trường Trung học phổ thông.
Giải bài tập Toán 10 trang 118, 119 Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Bài 1: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau: a) 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41. b) 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.
Giải bài tập Toán 10 trang 124, 125 Chân trời sáng tạo tập 1 - Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Bài 1: Hãy chọn ngẫu nhiên trong lớp ra 5 bạn nam và 5 bạn nữ rồi đo chiều cao các bạn đó.
