Bài 3.9 trang 56 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Tứ giác ABCD trong Hình 3.25 có phải là hình thang không? Vì sao?

Phương pháp:

Chứng minh AB // CD suy ra tứ giác ABCD là hình thang.

Lời giải:

Bài 3.10 trang 56 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có AB = AD. Biết \(\widehat {AB{\rm{D}}} = {30^o}\), tính số đo các góc của hình thang đó.

Phương pháp:

Áp dụng định lí tổng các góc trong một tứ giác bằng \(360^0\)

Lời giải:

Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD), ta có:

• \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{D}}B} = {30^o}\)

• \(\widehat A + \widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}B} = {180^o}\) hay \(\widehat A + {30^o} + {30^o} = {180^o}\)

Suy ra \(\widehat A\)=180°−30°−30°=120^o

Vì AB // CD nên \(\widehat {A{\rm{B}}D} = \widehat {B{\rm{D}}C} = {30^o}\) (hai góc so le trong).

Do đó \(\widehat {ADC} = \widehat {A{\rm{D}}B} + \widehat {C{\rm{D}}B}\)=30°+30°=60°

Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên \(\widehat {ADC} = \widehat C\)=60°

Ta có: \(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat C + \widehat {A{\rm{D}}C} = {360^o}\)

120°+60°+60°+\(\widehat {A{\rm{B}}C}\)=360°

240°+\(\widehat {A{\rm{B}}C}\)=360°

Suy ra =360°−240°=120°

Vậy số đo các góc của hình thang ABCD là \(\widehat A = {120^o};\widehat {ABC} = {120^o};\widehat {C} = {60^o};\widehat {A{\rm{D}}C} = {60^o}\).

Bài 3.11 trang 56 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Tính số đo các góc của tứ giác ABCD trong Hình 3.26.

Phương pháp:

Áp dụng định lí tổng các góc trong một tứ giác bằng \(360^0\)

Lời giải:

* Xét tam giác ABD cân tại A (vì AB = AD) ta có:

• \(\widehat {AB{\rm{D}}} = \widehat {A{\rm{D}}B} = {40^o}\)

• \(\widehat A + \widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {A{\rm{D}}B} = {180^o}\)

Suy ra \(\widehat A\)=180°−\(\widehat {AB{\rm{D}}}\)−\(\widehat {A{\rm{D}}B}\)=180°−40°−40°=100°

Ta có \(\widehat {A{\rm{D}}B} + \widehat {B{\rm{D}}C}\)=120° suy ra \(\widehat {B{\rm{D}}C}\)=120°−\(\widehat {A{\rm{D}}B}\)=120°−40°=80°.

* Xét tam giác BCD cân tại C (vì BC = CD) ta có:

• \(\widehat {CB{\rm{D}}} = \widehat {C{\rm{D}}B}\)=80°

• \(\widehat C + \widehat {CB{\rm{D}}} + \widehat {C{\rm{D}}B}\)=180°

Suy ra \(\widehat C\)=180°−\(\widehat {CB{\rm{D}}} - \widehat {C{\rm{D}}B}\)=180°−80°−80°=20°

Ta có: \(\widehat {ABC} = \widehat {AB{\rm{D}}} + \widehat {CB{\rm{D}}}\)=40°+80°=120^o

Vậy số đo các góc của tứ giác ABCD là \(\widehat A = {100^o};\widehat {ABC} = {120^o};\widehat C = {20^o}\)

Bài 3.12 trang 56 sách giáo khoa Toán 8 Kết nối tri thức tập 1

Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R.

a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân

b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.

c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?

Phương pháp:

a) Chứng minh: Tứ giác APMR là hình thang có \(\widehat {ABC} = \widehat {APM}\) nên tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Chứng minh: AM = PR ; BM = PQ; MC = PQ nên PR + BM + QR = MA + MB + MC.

c) Vì điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC do đó M là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Lời giải: 

Do đó tứ giác APMR là hình thang cân.

b) Vì tứ giác APMR là hình thang cân nên AM = PR (1)

Chứng minh tương tự câu a, ta cũng có các tứ giác BPMQ và MQCR là hình thang cân.

Suy ra BM = PQ và MC = QR (2)

Từ (1)và (2) suy ra PR + PQ + QR = MA + MB + MC.

Mà PR + PQ + QR chính là chu vi của tam giác PQR.

Do đó chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC (đpcm).

c) Để tam giác PQR là tam giác đều thìPR = PQ = QRsuy ra MA = MB = MC

Khi đó điểm M cách đều ba đỉnh A, B, C của tam giác ABC.

Do đó M là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời M cũng là giao điểm của ba đường trung tuyến, ba đường cao, đường phân giác).

Vậy khi M là giao điểm của ba đường trung trực thì tam giác PQR là tam giác đều.

Giaibaitap.me