Bài 1 trang 80 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành một hình bình hành?

Lời giải:

a) Thêm điều kiện \(AD\) // \(BC\) hoặc \(AB = CD\)

b) Thêm điều kiện \(EF = HG\) hoặc \(HE\;{\rm{//}}\;FG\)

c) Thêm điều kiện \(OP = OM\)

d) Thêm điều kiện \(\widehat {\rm{V}} = \widehat {\rm{T}}\)

Bài 2 trang 80 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hình bình hành \(ABCD\), kẻ \(AH\) vuông góc với \(BD\) tại \(H\) và \(CK\) vuông góc với \(BD\) tại \(K\) (Hình 20)

a) Chứng minh tứ giác \(AHCK\) là hình bình hành

b) Gọi \(I\) là trung điểm của \(HK\).Chứng minh \(IB = ID\)

Lời giải:

a) Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC.

Do đó DADH = DCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có AH ⊥ DB và CK  ⊥ DB nên AH // CK.

Tứ giác AHCK có AH // CK và AH = CK nên AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Do AHCK là hình bình hành (câu a) nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK (giả thiết) nên I là trung điểm của AC.

Do ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD, hay IB = ID.

Bài 3 trang 80 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(E\) là trung điểm của \(AD\), \(F\) là trung điểm của \(BC\)

a) Chứng minh rằng tứ giác \(EBFD\) là hình bình hành

b) Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành \(ABCD\). Chứng minh rằng ba điểm \(E\), \(O\), \(F\) thẳng hàng.

Lời giải: 

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(AD = BC\); \(AD\) // \(BC\)

Mà \(E\), \(F\) là trung điểm của \(AD\), \(BC\) (gt)

Suy ra \(AE = ED = BF = FC\)

Xét tứ giác \(EBFD\) ta có:

\(ED = FB\) (cmt)

\(ED\) // \(BF\) (do \(AD\) // \(BC\))

Suy ra \(EDFB\) là hình bình hành

b) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\)

Mà \(DEBF\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(O\) cũng là trung điểm của \(EF\)

Suy ra \(E\), \(O\), \(F\) thẳng hàng

Bài 4 trang 80 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hình bình hành \(ABCD\) (\(AB > BC\)). Tia phân giác của góc \(D\) cắt \(AB\) tại \(E\), tia phân giác của góc \(B\) cắt \(CD\) tại \(F\)

a) Chứng minh \(DE\) // \(BF\)

b) Tứ giác \(DEBF\) là hình gì?

Lời giải: 

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD và .

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên DE // BF.

b) Tứ giác DEBF có EB // FD (do AB // CD) và DE // BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Bài 5 trang 17 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(I\) và \(K\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(AB\) và \(CD\); \(E\) và \(F\) lần lượt là giao điểm của \(AK\) và \(CI\) với \(BD\).

a) Chứng minh tứ giác \(AEFI\) là hình thang

b) Chứng minh \(DE = EF = FB\)

Lời giải:

a) Vì \(ABCD\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(AB\) // \(CD\), \(AD\) // \(BC\); \(AB = CD\); \(AD = BC\)

Mà \(IA = IB = \frac{{AB}}{2}\); \(KD = KC = \frac{{CD}}{2}\) (do \(I\),\(K\) là trung điểm)

Suy ra \(IA = IB = KD = KC\)

Xét tứ giác \(AKCI\) có:

\(AI = KC\) (cmt)

\(AI\) // \(KC\)

Suy ra \(AKCI\) là hình bình hành

Suy ra \(IC\) // \(AK\)

Hay \(IF\) // \(AE\)

Suy ra \(AEFI\) là hình thang

b) Vì \(ABCD\), \(AKCI\) là hình bình hành (gt)

Suy ra \(O\) là trung điểm của \(AC\), \(BD\), \(KI\)

Suy ra \(OD = OB = \frac{1}{2}BD\) (1)

Xét tam giác \(ADC\) có hai trung tuyến \(AK\), \(DO\) cắt nhau tại \(E\)

Suy ra \(E\) là trọng tâm của tam giác

Suy ra \(ED = \frac{2}{3}DO\) (2)

Chứng minh tương tự ta có \(BF = \frac{2}{3}BO\) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra \(ED = BF = \frac{1}{3}BD\)

Suy ra \({\rm{EF}} = \frac{1}{3}BD\)

Vậy \(DE = EF = FB\)

Bài 6 trang 81 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Quan sát hình 21. Chứng minh rằng tứ giác \(EFGH\) là hình thoi.

Lời giải:

Lời giải:

Ta có AE = EB nên AB = 2AE.

         DG = GC nên DC = 2DG.

Mà AE = DG nên AB = DC.

Chứng minh tương tự ta cũng có: AD = BC.

Tứ giác ABCD có AB = DC và AD = BC nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Suy ra AB // CD và AD // BC.

Lại có AD ⊥ AB nên AD ⊥ CD; AB ⊥ BC; BC ⊥ CD.

Xét DAEH và DBEF có:

Do đó DAEH = DBEF (hai cạnh góc vuông).

Suy ra HE = FE (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta cũng có: HE = HG; HE = FG.

Do đó HE = EF = FG = GH.

Tứ giác EFGH có HE = EF = FG = GH nên là hình thoi.

Bài 7 trang 81 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho hình thoi \(ABCD\), hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) cắt nhau tại \(O\). Biết \(AC = 6\)cm; \(BD = 8\)cm. Tính độ dài cạnh của hình thoi \(ABCD\)

Lời giải:

Do \(ABCD\) là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau tạo ra 4 góc vuông.

Áp dụng ĐL Pythagore vào 1 trong các tam giác vuông, ta có độ dài cạnh hình vuông là:

\(\sqrt {{{\left( {\frac{6}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{8}{2}} \right)}^2}}  = \sqrt {9 + 16}  = \sqrt {25}  = 5\) (cm)

Bài 8 trang 81 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Lấy điểm \(D\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(BC\).

a) Chứng minh tứ giác \(ABDC\) là hình thoi

b) Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), lấy điểm \(O\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(OM\). Chứng minh rằng hai tam giác  \(AOB\) và \(MBO\) bằng nhau

c) Chứng minh tứ giác \(AEMF\) là hình thoi

Lời giải:

a) Ta có D đối xứng với A qua BC nên M là trung điểm của AD và AD ⊥ BC.

Tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AD ⊥ BC nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

b) Ta có E là trung điểm của AB và OM nên hai đường chéo của tứ giác OAMB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành.

Suy ra OA // BM và OB // AM.

Ta có OB // AM và AM ⊥ BM nên OB ⊥ BM, do đó DMBO vuông tại B.

Ta có OA // BM và OB ⊥ BM nên OA ⊥ OB, do đó DAOB vuông tại O.

Do OAMB là hình bình hành nên OA = BM và OB = AM.

Xét DMBO vuông tại B và DAOB vuông tại O có:

OB = AM; BM = OA

Do đó DMBO = DAOB (hai cạnh góc vuông).

Bài 9 trang 81 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 1

Tìm các hình bình hành và hình thang có trong hình 22.

Lời giải:

Gọi các hình trong ảnh lần lượt là 1,...,7.

Các hình bình hành là:

+ Hình 1; 3.

+ Hình to nhất ghép bởi tất cả các hình.

Các hình thang là:

+ Hình (1,2); (2,3); (3,4).

+ Hình (1,2,3); (2,3,4).

+ Hình (1,2,3,4)

+ Hình (1, 2, 3, 4, 6, 7)

Giaibaitap.me