Bài 1 trang 75 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 2

Hãy tìm cặp tam giác vuông đồng dạng trong Hình 8.

Lời giải:

Xét tam giác vuông \(PQR\) có:

\(\widehat P + \widehat Q + \widehat R = 180^\circ  \Leftrightarrow \widehat P + 90^\circ  + 42^\circ  = 180^\circ  \Rightarrow \widehat P = 180^\circ  - 90^\circ  - 42^\circ  = 48^\circ \)

Xét tam giác vuông \(UVT\) có:

\(U{V^2} = U{T^2} + V{T^2} \Leftrightarrow {6^2} = U{T^2} + {4^2} \Rightarrow U{T^2} = {6^2} - {4^2} = 20 \Rightarrow UT = 2\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông \(DEF\) có:

\(E{F^2} = D{E^2} + D{F^2} \Leftrightarrow E{F^2} = {9^2} + {12^2} \Rightarrow E{F^2} = 225 \Rightarrow EF = 15\)

Xét tam giác vuông \(MNK\) có:

\(K{N^2} = K{M^2} + M{N^2} \Leftrightarrow {9^2} = K{M^2} + {6^2} \Rightarrow K{M^2} = {9^2} - {6^2} = 45 \Rightarrow KM = 3\sqrt 5 \)

Xét tam giác vuông \(IGH\) có:

\(I{H^2} = H{G^2} + I{G^2} \Leftrightarrow I{H^2} = 7,{5^2} + {10^2} \Rightarrow I{H^2} = 156,25 \Rightarrow IH = 12,5\)

- Xét \(\Delta ABC\) và \(\Delta QPR\) có:

\(\widehat B = \widehat P = 48^\circ \) (chứng minh trên)

\(\widehat A = \widehat Q = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta ABC\backsim\Delta QPR\) (g.g)

- Xét \(\Delta UTV\) và \(\Delta KMN\) có:

\(\widehat T = \widehat M = 90^\circ \)

\(\frac{{UT}}{{KM}} = \frac{{2\sqrt 5 }}{{3\sqrt 5 }} = \frac{2}{3};\frac{{VT}}{{MN}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)

Do đó, \(\Delta UTV\backsim\Delta KMN\) (c.g.c)

- Xét \(\Delta DEF\) và \(\Delta GHI\) có:

\(\widehat D = \widehat G = 90^\circ \)

\(\frac{{HG}}{{DE}} = \frac{{7,5}}{9} = \frac{5}{6};\frac{{IG}}{{DF}} = \frac{{10}}{{12}} = \frac{5}{6}\)

Do đó, \(\Delta DEF\backsim\Delta GHI\) (c.g.c).

Bài 2 trang 76 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 2

Quan sát Hình 9.

a) Chứng minh rằng \(\Delta DEF\backsim\Delta HDF\).

b) Chứng minh rằng \(D{F^2} = FH.FE\).

c) Biết \(EF = 15cm,FH = 5,4cm\). Tính độ dài đoạn thẳng \(DF\).

Lời giải:

a) Xét tam giác vuông DEF và HDE có: 

Vậy ΔDEF ᔕ ΔHDF (g.g).

b) Từ câu b: ΔDEF ᔕ ΔHDF suy ra 

Do đó DF² = FH.FE (đpcm).

c) Thay EF = 15 cm, FH = 5,4 cm ta có: 

DF² = 5,4.15 = 81 suy ra DF = 9 cm.

Bài 3 trang 76 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 2

Trong Hình 10, biết \(MB = 20m,MF = 2m,EF = 1,65m\). Tính chiều cao \(AB\) của ngọn tháp.

Lời giải:

Xét \(\Delta MEF\) và \(\Delta MAB\) có:

\(\widehat M\) chung

\(\widehat {MFE} = \widehat {MBA} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta MEF\backsim\Delta MAB\) (g.g)

Vì  nên \(\frac{{MF}}{{MB}} = \frac{{FE}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng)

Thay số, \(\frac{2}{{20}} = \frac{{1,65}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{{1,65.20}}{2} = 16,5\)

Vậy tòa tháp cao 16,5m.

Bài 4 trang 76 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 2

Trong Hình 11, cho biết \(\widehat B = \widehat C,BE = 25cm,AB = 20cm,DC = 15cm\). Tính độ dài đoạn thẳng \(CE\).

Lời giải:

Vậy AC = 12 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABE, ta có: 

BE² = AB² + AE²

Do đó CE = AE – AC = 15 – 12 = 3 (cm).

Vậy CE = 3 cm.

Bài 5 trang 76 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 2

Quan sát Hình 12. Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABH\backsim\Delta DCB\);

b) \(\frac{{BC}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\).

Lời giải:

a) Vì \(\left\{ \begin{array}{l}JC \bot AE\\BH \bot AE\end{array} \right. \Rightarrow JC//BH\). Vì \(JC//BH \Rightarrow \widehat {HBA} = \widehat {JCA}\) (hai góc đồng vị)

hay \(\widehat {HBA} = \widehat {DCB}\)

Xét \(\Delta ABH\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat {HBA} = \widehat {DCB}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {AHB} = \widehat {DBC} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta ABH\backsim\Delta DCB\) (g.g)

b) Vì  (hai góc tương ứng) hay \(\widehat {EAB} = \widehat {CDB}\).

Xét \(\Delta AEB\) và \(\Delta DCB\) có:

\(\widehat {EAB} = \widehat {CDB}\) (chứng minh trên)

\(\widehat {ABE} = \widehat {DBC} = 90^\circ \)

Do đó, \(\Delta AEB\backsim\Delta DCB\) (g.g)

Suy ra, \(\frac{{BE}}{{BC}} = \frac{{BA}}{{BD}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Hay \(\frac{{BC}}{{BE}} = \frac{{BD}}{{BA}}\) (điều phải chứng minh).

Bài 6 trang 76 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 2

Một người đo chiều cao của một tòa nhà nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 3m và đặt cách xa tòa nhà 27m. Sau khi người ấy lùi xa cái cọc 1,2m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh tòa nhà cùng năm trên một đường thẳng. Hỏi tòa nhà cao bao nhiêu mét, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,5m.

Lời giải:

Gọi chiều cao của tòa nhà là h = A'C' và cọc tiêu AC = 3 m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,5 m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 27 m, và người cách cọc một khoảng AD = 1,2 m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Vì A'C' ⊥ A'B, AC ⊥ A'B, DE ⊥ A'B nên A'C' // AC // DE.

• ΔDEB ᔕ ΔACB (vì DE // AC)

Do đó A'B = A'A + AD + DB = 27 + 1,2 + 1,2 = 29,4 (m)

• ΔACB ᔕ ΔA'C'B (vì AC // A'C')

Vậy tòa nhà cao 24,5 m.

Bài 7 trang 76 SGK Toán 8 Chân trời sáng tạo tập 2

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\). Kẻ \(HM\) vuông góc với \(AB\) tại \(M\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta AMH\backsim\Delta AHB\).

b) Kẻ \(HN\) vuông góc với \(AC\) tại \(N\). Chứng minh rằng \(AM.AB = AN.AC\).

c) Chứng minh rằng \(\Delta ANM\backsim\Delta ABC\).

d) Cho biết \(AB = 9cm,AC = 12cm.\) Tính diện tích tam giác \(AMN\).

Lời giải:

a) Xét \(\Delta AMH\) và \(\Delta AHB\) có:

\(\widehat {HAM}\) chung (do \(\widehat {HAM}\) cũng là \(\widehat {HAB}\))

\(\widehat {AMH} = \widehat {AHB} = 90^\circ \) (do \(HM \bot AB\) và \(AH\) là đường cao)

Do đó, \(\Delta AMH\backsim\Delta AHB\) (g.g).

b) Vì \(\Delta AMH\backsim\Delta AHB\) nên \(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra \(AM.AB = A{H^2}\) (1)

- Xét \(\Delta ANH\) và \(\Delta AHC\) có:

\(\widehat {HAN}\) chung (do \(\widehat {HAN}\) cũng là \(\widehat {HAC}\))

\(\widehat {ANH} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) (do \(HN \bot AC\) và \(AH\) là đường cao)

Do đó, \(\Delta ANH\backsim\Delta AHC\) (g.g).

Vì \(\Delta ANH\backsim\Delta AHC\) nên \(\frac{{AN}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) (các cặp cạnh tương ứng có cùng tỉ lệ)

Suy ra \(AN.AC = A{H^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra, \(AM.AB = AN.AC\)(điều phải chứng minh).

c) Từ câu b ta có:

\(AM.AB = AN.AC \Rightarrow \frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\) (tỉ lệ thức)

Xét \(\Delta ANM\)và \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat A\) chung

\(\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\Delta ANM\backsim\Delta ABC\)(c.g.c)

d) Áp dụng định lí Py- ta – go cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) ta có:

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {9^2} + {12^2} = 225 \Rightarrow BC = 15cm\)

Diện tích tam giác \(ABC\) là: \({S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\)

\( \Rightarrow AH.BC = AB.AC\)

\( \Rightarrow AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{9.12}}{{15}} = 7,2cm\).

Ta có: \(A{H^2} = AM.AB = AM.9 = 7,{2^2} \Rightarrow AM = \frac{{7,{2^2}}}{9} = 5,76cm\)

\(A{H^2} = AN.AC = AN.12 = 7,{2^2} \Rightarrow AN = \frac{{7,{2^2}}}{{12}}4,32cm\).

Diện tích tam giác vuông \(AMN\) là:

\({S_{AMN}} = \frac{1}{2}AM.AN = \frac{1}{2}.5,76.4,32 = 12,4416c{m^2}\).

Vậy diện tích tam giác \(AMN\) là 12,4416cm².

Giaibaitap.me