Bài 9 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải tích phương trình sau trên tập số phức
a) \((3 + 4i)z + (1 – 3i) = 2 + 5i\)
b) \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz\)
Giải
a) \((3 + 4i)z = (2 + 5i) – (1 – 3i) = 1 + 8i\)
Vậy \(z = {{1 + 8i} \over {3 + 4i}} = {{(1 + 8i)(3 - 4i)} \over {25}} = {{35} \over {25}} + {{20} \over {25}}i = {7 \over 5} + {4 \over 5}i\)
b) \((4 + 7i)z – (5 – 2i) = 6iz ⇔ (4 + 7i)z – 6iz = 5 – 2i\)
\(⇔ (4 + i)z = 5 – 2i\)
\( \Leftrightarrow z = {{5 - 2i} \over {4 + i}} = {{(5 - 2i)(4 - i)} \over {17}} \Leftrightarrow z = {{18} \over {17}} - {{13} \over {17}}i\)
Bài 10 trang 144 SGK Giải tích 12
Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\)
b) \(z^4– 8 = 0\)
c) \(z^4– 1 = 0\)
Giải
a) \(3z^2+ 7z + 8 = 0\) có \(Δ = 49 – 4.3.8 = -47\)
Vậy phương trình có hai nghiệm là: \({z_{1,2}} = {{ - 7 \pm i\sqrt {47} } \over 6}\)
b) \(z^4– 8 = 0\)
Đặt \(Z = z^2\), ta được phương trình : \(Z^2 – 8 = 0\)
Suy ra: \(Z = ± \sqrt8\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là: \({z_{1,2}} = \pm \root 4 \of 8 ,{z_{3,4}} = \pm i\root 4 \of 8 \)
c) \(z^4– 1 = 0\)\( ⇔ (z^2– 1)(z^2+ 1) = 0\)
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là \(±1\) và \(±i\)
Bài 11 trang 144 SGK Giải tích 12
Tìm hai số phức, biết tổng của chúng bằng \(3\) và tích của chúng bằng \(4\).
Giải
Giả sử hai số cần tìm là \(z_1\) và \(z_2\).
Ta có: \(z_1 + z_2 = 3\); \(z_1. z_2 = 4\)
Rõ ràng, \(z_1, z_2\) là các nghiệm của phương trình:
\((z – z_1)(z – z_2) = 0\) hay \(z^2– (z_1 + z_2)z + z_1. z_2 = 0\)
Vậy \(z_1, z_2\) là các nghiệm của phương trình: \(z^2 – 3z + 4 = 0\)
Phương trình có \(Δ = 9 – 16 = -7\)
Vậy hai số phức cần tìm là: \({z_1} = {{3 + i\sqrt 7 } \over 2},{z_2} = {{3 - i\sqrt 7 } \over 2}\)
Bài 12 trang 144 SGK Giải tích 12
Cho hai số phức \(z_1, z_2\). Biết rằng \(z_1 + z_2\) và \(z_1. z_2\) là hai số thực. Chứng minh rằng \(z_1, z_2\) là hai nghiệm của một phương trình bậc hai với hệ số thực.
Giải
Đặt \(z_1 + z_2 = a\); \(z_1. z_2 = b; a, b ∈ \mathbb R\)
Khi đó, \(z_1\) và \(z_2\) là hai nghiệm của phương trình
\((z – z_1)(z – z_2) = 0\) hay \(z^2– (z_1 + z_2)z + z_1. z_2 = 0 ⇔ z^2 – az + b = 0\)
Đó là phương trình bậc hai đối với hệ số thực. Suy ra điều phải chứng minh.
Giaibaitap.me
Giải bài tập trang 144 ôn tập chương IV - Số phức SGK Giải tích 12. Câu 1: Số nào trong các số sau là số thực...
Giải bài tập trang 145, 146 ôn tập cuối năm SGK Giải tích 12. Câu 1: Cho hàm số:...
Giải bài tập trang 146, 147 ôn tập cuối năm SGK Giải tích 12. Câu 5: Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các điểm có tung độ bằng 1...
Giải bài tập trang 147 ôn tập cuối năm SGK Giải tích 12. Câu 9: Giải các phương trình sau...
