Bài 3.1 trang 170 sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Kiểm tra xem nguyên hàm nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại trong mỗi cặp hàm số sau:

a)  \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) và \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

b) \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\) và \(g(x) = {e^{\sin x}}\)

c)\(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\) và \(g(x) =  - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\)

d) \(f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\) và \(g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \)

e) \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) và \(g(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}\)

Hướng dẫn làm bài

a) Hàm số  \(f(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\)   là một nguyên hàm của \(g(x) = {1 \over {\sqrt {1 + {x^2}} }}\)

b) Hàm số  \(g(x) = {e^{\sin x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^{\sin x}}\cos x\) 

c) Hàm số \(f(x) = {\sin ^2}{1 \over x}\)  là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) =  - {1 \over {{x^2}}}\sin {2 \over x}\)

d) Hàm số  \(g(x) = \sqrt {{x^2} - 2x + 2} \) là một nguyên hàm của hàm số (f(x) = {{x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - 2x + 2} }}\)

e) Hàm số  \(f(x) = {x^2}{e^{{1 \over x}}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(g(x) = (2x - 1){e^{{1 \over x}}}\)

Câu 3.2 trang 170 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Chứng minh rằng các hàm số F(x) và G(x) sau đều là một nguyên hàm của cùng một hàm số:

a)  \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}}\) và \(G(x) = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}}\)

b) \(F(x) = {1 \over {{{\sin }^2}x}}\)  và \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x\)

c) \(F(x) = 5 + 2{\sin ^2}x\)  và \(G(x) = 1 - \cos 2x\)

Hướng dẫn làm bài

a) Vì \(F(x) = {{{x^2} + 6x + 1} \over {2x - 3}} = {{{x^2} + 10} \over {2x - 3}} + 3 = G(x) + 3\)  nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) = {{2{x^2} - 6x - 20} \over {{{(2x - 3)}^2}}}\)

b) Vì \(G(x) = 10 + {\cot ^2}x = {1 \over {{{\sin }^2}x}} + 9 = F(x) + 9\) , nên F(x) và G(x) đều là một nguyên hàm của \(f(x) =  - {{2\cos x} \over {{{\sin }^3}x}}\)

c) Vì \(F'(x) = (5 + 2{\sin ^2}x)' = 2\sin 2x\)  và \(G'(x) = (1 - \cos 2x)' = 2\sin 2x\) , nên F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của cùng hàm số f(x) = 2sin2x

Bài 3.3 trang 171 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = {(x - 9)^4}\)                             

 b) \(f(x) = {1 \over {{{(2 - x)}^2}}}\)

c) \(f(x) = {x \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\)                               

d) \(f(x) = {1 \over {\sqrt {2x + 1} }}\)

e) \(f(x) = {{1 - \cos 2x} \over {{{\cos }^2}x}}\)                                                 

g) \(f(x) = {{2x + 1} \over {{x^2} + x + 1}}\)

Hướng dẫn làm bài

a) \(F(x) = {{{{(x - 9)}^5}} \over 5} + C\)                                             

 b) \(F(x) = {1 \over {2 - x}} + C\)

c) \(F(x) =  - \sqrt {1 - {x^2}}  + C\)                                             

d) \(F(x) = \sqrt {2x + 1}  + C\)

e) \(F(x) = 2(\tan x - x) + C\)  .

HD: Vì \(f(x) = 2{{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = 2({1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1)\)

g) \(F(x) = \ln ({x^2} + x + 1) + C\). HD:  Đặt u = x² + x + 1 , ta có u’ = 2x + 1  

Giaibaitap.me