Bài 3.10 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

 Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {({y^3} + 3{y^2} - 2)dy} \)                                                       

b)\(\int\limits_1^4 {(t + {1 \over {\sqrt t }}}  - {1 \over {{t^2}}})dt\)

c) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {(2\cos x - \sin 2x)dx} \)                                                   

d) \(\int\limits_0^1 {{{({3^s} - {2^s})}^2}ds} \)

e) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 3}} {\cos 3xdx}  + \int\limits_{{\pi  \over 3}}^{{{3\pi } \over 2}} {\cos 3xdx}  + \int\limits_{{{3\pi } \over 2}}^{{{5\pi } \over 2}} {\cos 3xdx} \)

g)\(\int\limits_0^3 {|{x^2} - x - 2|dx} \)

h)  \(\int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {\sqrt {1 + \sin 2x} }}} dx\)

i) \(\int\limits_0^4 {{{4x - 1} \over {\sqrt {2x + 1}  + 2}}} dx\)

Hướng dẫn làm bài

a) \( - {3 \over 4}\)                                             

b)  \({{35} \over 4}\)                                       

c) 1

d) \({4 \over {\ln 3}} - {{10} \over {\ln 6}} + {3 \over {2\ln 2}}\)                         

e) \( - {1 \over 3}\)

g) \({{31} \over 6}\)  .

HD: \(\int\limits_0^3 {|{x^2} - x - 2|dx }\)

\({= \int\limits_0^2 { - ({x^2} - x - 2)dx + \int\limits_2^3 {({x^2} - x - 2)dx} } } \)

h) \({1 \over 2}\ln 2\) .

HD:    \(\int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {\sqrt {1 + \sin 2x} }}} dx\)

\(= \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{\sin x - \cos x} \over {|\sin x + \cos x|}}} dx = \int\limits_\pi ^{{{5\pi } \over 4}} {{{d(\sin x + \cos x)} \over {\sin x + \cos x}}} \)  

i) \({{34} \over 3} + 10\ln {3 \over 5}\)  .

HD: Đặt  \(t = \sqrt {2x + 1} \)

Sachbaittap.com

Bài 3.11 trang 177 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau bằng phương pháp đổi biến:

a) \(\int\limits_1^2 {x{{(1 - x)}^5}dx} \)  (đặt  t = 1 – x)

b)  \(\int\limits_0^{\ln 2} {\sqrt {{e^x} - 1} dx} \)   (đặt \(t = \sqrt {{e^x} - 1} \))

c) \(\int\limits_1^9 {x\root 3 \of {1 - x} dx} \)  (đặt \(t = \root 3 \of {1 - x} \))

d)  \(\int\limits_{ - 1}^1 {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} }}} dx\)    (đặt \(u = \sqrt {{x^2} + x + 1} \) )

e) \(\int\limits_1^2 {{{\sqrt {1 + {x^2}} } \over {{x^4}}}} dx\)   (đặt \(t = {1 \over x}\))

g)  \(\int\limits_0^\pi  {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx} \)   (đặt \(x = \pi  - t\)  )

h) \(\int\limits_{ - 1}^1 {{x^2}{{(1 - {x^3})}^4}dx} \)

i) \(\int\limits_0^1 {{{dx} \over {1 + {x^2}}}} \)  (đặt \(x = \tan u\) )

Hướng dẫn làm bài

a)  \( - {{13} \over {42}}\)                                               

b)    \(2 - {\pi  \over 2}\)                                   

c) \( - {{468} \over 7}\)

d) \(2(\sqrt 3  - 1)\)                                         

e) \( - {1 \over 3}({{5\sqrt 5 } \over 8} - 2\sqrt 2 )\)

g) \({{{\pi ^2}} \over 4}\)  .

HD: Đặt \(x = \pi  - t\)  , ta suy ra:

\(\int\limits_0^\pi  {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = {\pi  \over 2}\int\limits_0^\pi  {{{\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} dx = {\pi  \over 2}\int\limits_0^\pi  {{{ - d(\cos x)} \over {1 + {{\cos }^2}x}}} \)

Vậy \(\int\limits_0^\pi  {{{x\sin x} \over {1 + {{\cos }^2}x}}dx}  = {\pi  \over 2}\int\limits_{ - 1}^1 {{{dt} \over {1 + {t^2}}}} \)  .

Đặt tiếp t = tan u

h) \({{{2^5}} \over {15}}\) .

HD: Đặt t = 1 – x³

i) \({\pi  \over 4}\)

Bài 3.12 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần, hãy tính các tích phân sau:

a)  \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos 2xdx} \)

b) \(\int\limits_0^{\ln 2} {x{e^{ - 2x}}dx} \)

c)   \(\int\limits_0^1 {\ln (2x + 1)dx} \)                                                               

d) \(\int\limits_2^3 {{\rm{[}}\ln (x - 1) - \ln (x + 1){\rm{]}}dx} \)

e) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)

g) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x{{\sin }^2}xdx} \)

h) \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx\)

i) \(\int\limits_1^e {{{1 + x\ln x} \over x}} {e^x}dx\)

Hướng dẫn làm bài

a)  \( - {1 \over 2}\)                  

b)  \({1 \over 4}({3 \over 4} - {{\ln 2} \over 2})\)                           

c) \({3 \over 2}\ln 3 - 1\)                   

d) \(3\ln 3 - 6\ln 2\)

e) \({3 \over 2}{e^{{5 \over 2}}}\) .

HD: \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(1 + x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx = } \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}} dx + \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)

Tính tích phân từng phần: \(\int\limits_{{1 \over 2}}^2 {{e^{x + {1 \over x}}}dx = x{e^{x + {1 \over x}}}\left| {\matrix{2 \cr {{1 \over 2}} \cr} } \right.} - \int\limits_{{1 \over 2}}^2 {(x - {1 \over x}){e^{x + {1 \over x}}}dx} \)

g)  \({\pi  \over 6} - {2 \over 9}\) 

HD: Đặt  \(u = x,dv = \cos x{\sin ^2}xdx\)

h) \({e \over 2} - 1\). HD:  \(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx}  - \int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}dx} \) và tính tích phân từng phần : 

\(\int\limits_0^1 {{{x{e^x}} \over {{{(1 + x)}^2}}}} dx = {{ - {e^x}} \over {1 + x}}\left| {\matrix{
1 \cr 0 \cr} + } \right.\int\limits_0^1 {{{{e^x}} \over {1 + x}}dx} \)

i) e^e  . HD: Tương tự câu g)

Bài 3.13 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12

Tính các tích phân sau đây:

a) \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {(x + 1)\cos (x + {\pi  \over 2}} )dx\)                                                       

b) \(\int\limits_0^1 {{{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{{\log }_2}(x + 1)dx} \)

c) \(\int\limits_{{1 \over 2}}^1 {{{{x^2} - 1} \over {{x^4} + 1}}} dx\)  (đặt \(t = x + {1 \over x}\))                                               

d)\(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}}} \)

Hướng dẫn làm bài

a) – 2                          

b) \({1 \over {2\ln 2}}({1 \over 2} + {\ln ^2}2)\) . HD:\({{{x^2} + x + 1} \over {x + 1}}{\log _2}(x + 1) = {1 \over {\ln 2}}{\rm{[}}x\ln (x + 1) + {{\ln (x + 1)} \over {x + 1}}{\rm{]}}\)

c)\({1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\)   . HD: Đặt \(t = x + {1 \over x}\)  , ta nhận được:

\(\int\limits_{{5 \over 2}}^2 {{{dt} \over {{t^2} - 2}} = {1 \over {2\sqrt 2 }}} \ln |{{t - \sqrt 2 } \over {t + \sqrt 2 }}|\left| {\matrix{2 \cr {{5 \over 2}} \cr} } \right. = {1 \over {2\sqrt 2 }}\ln {{6 - \sqrt 2 } \over {6 + \sqrt 2 }}\)

d) \(\ln 2 - {1 \over 2}\)   . HD: \(\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {{{\sin 2xdx} \over {3 + 4\sin x - \cos 2x}} = } \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin x.{{d(\sin x + 1)} \over {{{(\sin x + 1)}^2}}}}  = \ln 2 - {1 \over 2}\)

 Giaibaitap.me