Bài 3.69 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm   A(1; 0; 0),  B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng x² + y² + z² –2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:

\(\left\{ {\matrix{{1 - 2a + d = 0} \cr {1 - 2b + d = 0} \cr {1 - 2c + d = 0} \cr {2 - 2a - 2b + d = 0} \cr} } \right.\Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{a = {1 \over 2}} \cr {b = {1 \over 2}} \cr {c = {1 \over 2}} \cr {d = 0} \cr} } \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x² + y² + z² – x – y – z = 0

b) Ta có  \(\overrightarrow {AC}  = ( - 1;0;1)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (0;1;0)\)

Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AC}  \wedge \overrightarrow {AD}  = ( - 1;0; - 1)\)  hay \(\overrightarrow {n'}  = (1;0;1)\)

Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0  hay x + z – 1 = 0

Mặt cầu (S) có tâm \(I({1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2})\)

Ta có \(I \in (ACD)\), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm \(I({1 \over 2};{1 \over 2};{1 \over 2})\) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy: \(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d}  = \sqrt {{1 \over 4} + {1 \over 4} + {1 \over 4}}  = {{\sqrt 3 } \over 2}\).

Bài 3.70 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Cho hai đường thẳng   \({\Delta _1}:{x \over 2} = {{y + 2} \over 3} = {z \over 4}\)  và \({\Delta _2}:\left\{ {\matrix{{x = 1 + t} \cr {y = 2 + t} \cr {z = 1 + 2t} \cr} } \right.\)

a) Viết phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) chứa \({\Delta _1}\) và song song với \({\Delta _2}\)

b) Cho điểm M(2; 1; 4). Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng \({\Delta _2}\) sao cho đoạn thẳng MH có độ dài nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình tham số của đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\matrix{{x = 2t'} \cr {y = - 2 + 3t'} \cr {z = 4t'} \cr} } \right.\)

\({\Delta _1}\) đi qua điểm M₁(0; -2; 0) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_1}}  = (2;3;4)\)

\({\Delta _2}\)  đi qua điểm M₂ (1; 2; 1) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{a_2}}  = (1;1;2)\)

Mặt phẳng \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {{a_1}}  \wedge \overrightarrow {{a_2}}  = (2;0; - 1)\)

\((\alpha )\)  đi qua điểm M₁(0; -2; 0) và có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n \), vậy phương trình của \((\alpha )\)  là:  2x – z = 0

b) Xét điểm \(H(1 + t;2 + t;1 + 2t) \in {\Delta _2}\)

       \(\overrightarrow {MH}  = (t - 1;t + 1;2t - 3)\)

Ta có: MH nhỏ nhất \(\Leftrightarrow MH \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow \overrightarrow {MH} .\overrightarrow {{a_2}}  = 0\)

\(\Leftrightarrow   t – 1 + t  +1 + 2(2t – 3) = 0  \Leftrightarrow   t = 1\)

Vậy ta được H(2; 3; 3)

Bài 3.71 trang 134 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Trong không gian Oxyz, cho điểm D(-3; 1 ; 2) và mặt phẳng \((\alpha )\) đi qua ba điểm A(1; 0; 11), B(0; 1; 10), C(1; 1; 8).

a) Viết phương trình đường thẳng AC.

b) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng \((\alpha )\).

c) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5. Chứng minh mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S).

Hướng dẫn làm bài:

a) Đường thẳng AC có vecto chỉ phương \(\overrightarrow {AC}  = (0;1; - 3)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AC: \(\left\{ {\matrix{{x = 1} \cr {y = t} \cr {z = 11 - 3t} \cr} } \right.\)

b) Ta có:  \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1;1; - 1)\)  và \(\overrightarrow {AC}  = (0;1; - 3)\)

       \(\overrightarrow n  = \overrightarrow {AB}  \wedge \overrightarrow {AC}  = ( - 2; - 3; - 1)\)

Suy ra \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = ( - 2; - 3; - 1)\)

Mặt phẳng \((\alpha )\) có phương trình:

\( 2(x – 1) + 3(y) + (z – 11) = 0\) hay  \(2x + 3y + z – 13 = 0\)

c) Phương trình mặt cầu (S) tâm D bán kính 5: (x + 3)² + (y – 1)² + (z – 2)² = 25

Ta có \(d(D,(\alpha )) = {{|2.( - 3) + 3.(1) + (2) - 13|} \over {\sqrt {4 + 9 + 1} }} = {{14} \over {\sqrt {14} }} = \sqrt {14}  < 5\)

Do đó \(d(D,(\alpha )) < r\) . Vậy mặt phẳng \((\alpha )\) cắt mặt cầu (S).

Giaibaitap.me