Bài 3.28 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây:

a) $({\alpha _1}):3x - 2y - 3z + 5 = 0,$

$(\alpha {'_1}):9x - 6y - 9z - 5 = 0$

b) $({\alpha _2}):x - 2y + z + 3 = 0,$

$(\alpha {'_2}):x - 2y - z + 3 = 0$

c) $({\alpha _3}):x - y + 2z - 4 = 0,$

$(\alpha {'_3}):10x - 10y + 20z - 40 = 0$

Hướng dẫn làm bài

a) $({\alpha _1})//({\alpha _1}')$                 

b) $({\alpha _2})$ cắt $({\alpha _2}')$                       

c) $({\alpha _3}) \equiv ({\alpha _3}')$ 

Bài 3.29 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Viết phương trình của mặt phẳng $(\beta )$ đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$  : 2x – y + 3z + 4 = 0

Hướng dẫn làm bài:

Mặt phẳng $(\beta )$ song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng $(\alpha )$: 

2x – y + 3z + 4 = 0 , do đó hai vecto có giá song song hoặc nằm trên $(\beta )$ là:  $\overrightarrow j  = (0;1;0)$  và $\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (2; - 1;3)$

Suy ra $(\beta )$ có vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\beta }}  = \overrightarrow j  \wedge \overrightarrow {{n_\alpha }}  = (3;0; - 2)$

Mặt phẳng $(\beta )$ đi qua điểm M(2; -1; 2) có vecto pháp tuyến là: $\overrightarrow {{n_\beta }}  = (3;0; - 2)$

Vậy phương trình của $(\beta )$ là:  3(x – 2) – 2(z – 2) = 0  hay 3x – 2z – 2 = 0

Bài 3.30 trang 114 sách bài tập (SBT) – Hình học 12

Lập phương trình của mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Gọi giao điểm của $(\alpha )$  với ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt là A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0 ; c)        (a, b, c > 0).

Mặt phẳng $(\alpha )$  có phương trình theo đoạn chắn là: ${x \over a} + {y \over b} + {z \over c} = 1$            (1)

Do $(\alpha )$   đi qua M(1; 2; 3) nên ta thay tọa độ của điểm M vào (1): ${1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} = 1$

Thể tích của tứ diện OABC là  $V = {1 \over 3}B.h = {1 \over 3}.{1 \over 2}OA.OB.OC = {1 \over 6}abc$

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:  $1 = {1 \over a} + {2 \over b} + {3 \over c} \ge 3\root 3 \of {{6 \over {abc}}} \Rightarrow  1 \ge {{27.6} \over {abc}}$

$\Rightarrow abc \ge 27.6 \Rightarrow V \ge 27$

Ta có:  V đạt giá trị nhỏ nhất $\Leftrightarrow  V = 27 \Leftrightarrow  {1 \over a} = {2 \over b} = {3 \over c} = {1 \over 3} \Leftrightarrow  \left\{ {\matrix{{a = 3} \cr {b = 6} \cr {c = 9} \cr} } \right.$

Vậy phương trình mặt phẳng $(\alpha )$ thỏa mãn đề bài là:

${x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1$  hay  6x + 3y + 2z – 18 = 0

Giaibaitap.me