Bài 3.14 trang 178 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh rằng: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx = 0} \).
Hướng dẫn làm bài
Với \(x \in {\rm{[}}0;1]\) , ta có \(0 \le {x^n}\sin \pi x \le {x^n}\) . Do đó:
\(0 \le \int\limits_0^1 {{x^n}\sin \pi xdx} \le \int\limits_0^1 {{x^n}dx = {1 \over {n + 1}}} \)
Áp dụng quy tắc chuyển qua giới hạn trong bất đẳng thức, ta được điều phải chứng minh.
Bài 3.15 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi \(f(x) = \int\limits_0^x {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt,x \in R\) là hàm số chẵn.
Hướng dẫn làm bài
Đặt t = - s trong tích phân: \(f( - x) = \int\limits_0^{ - x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt\) , ta được:\(f( - x) = \int\limits_0^{ - x} {{t \over {\sqrt {1 + {t^4}} }}} dt = \int\limits_0^x {{s \over {\sqrt {1 + {s^4}} }}} ds = f(x)\)
Bài 3.16 trang 179 sách bài tập (SBT) - Giải tích 12
Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:
\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = } \left\{ {\matrix{{2\int\limits_0^a {f(x)dx,(1)} } \cr {0,(2)} \cr} } \right.\)
(1) : nếu f là hàm số chẵn
(2): nếu f là hàm số lẻ.
Áp dụng để tính: \(\int\limits_{ - 2}^2 {\ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} } )dx\)
Hướng dẫn làm bài
Giả sử hàm số f(x) là hàm số chẵn trên đoạn [-a; a], ta có:
\(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = \int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx + \int\limits_0^a {f(x)dx} } } \)
Đổi biến x = - t đối với tích phân \(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx} \) , ta được:
\(\int\limits_{ - a}^0 {f(x)dx = - \int\limits_a^0 {f( - t)dt = \int\limits_0^a {f(t)dt = \int\limits_0^a {f(x)dx} } } } \)
Vậy \(\int\limits_{ - a}^a {f(x)dx = 2\int\limits_0^a {f(x)dx} } \)
Trường hợp sau chứng minh tương tự. Áp dụng:
Vì \(g(x) = \ln (x + \sqrt {1 + {x^2}} )\) là hàm số lẻ trên đoạn [-2; 2] nên \(\int\limits_{ - 2}^2 {g(x)dx = 0}\)
Giaibaitap.me
Giải bài tập trang 179 bài 2 tích phân Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Câu 3.17: Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng...
Giải bài tập trang 184, 185 bài 3 ứng dụng hình học của tích phân Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Câu 3.21: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau...
Giải bài tập trang 185 bài 3 ứng dụng hình học của tích phân Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Câu 3.24: Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường ...
Giải bài tập trang 185, 186 ôn tập chương III - Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Sách bài tập (SBT) Giải tích 12. Câu 3.27: Tính các nguyên hàm sau...
