Bài 2.30 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình mũ sau:

a) \({(0,75)^{2x - 3}} = {(1\frac{1}{3})^{5 - x}}\)                                                                     

b) \({5^{{x^2} - 5x - 6}} = 1\)

c) \({(\frac{1}{7})^{{x^2} - 2x - 3}} = {7^{x + 1}}\)                                                                          

d) \({32^{\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = 0,{25.125^{\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \({(\frac{3}{4})^{2x - 3}} = {(\frac{4}{3})^{5 - x}}\)

\( \Leftrightarrow {(\frac{3}{4})^{2x - 3}} = {(\frac{3}{4})^{x - 5}}\)

\(\Leftrightarrow 2x - 3 = x - 5 \Leftrightarrow x =  - 2\)

b)

\(\begin{array}{l}
{5^{{x^2} - 5x - 6}} = {5^0} \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 6 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 6
\end{array} \right.
\end{array}\)

c) 

\(\begin{array}{l}
{(\frac{1}{7})^{{x^2} - 2x - 3}} = {(\frac{1}{7})^{ - x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = - x - 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = - 1\\
x = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)

d) \({2^{5.\frac{{x + 5}}{{x - 7}}}} = {2^{ - 2}}{.5^{3.\frac{{x + 17}}{{x - 3}}}} <  =  > {2^{\frac{{5x + 25}}{{x - 7}} + 2}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}} <  =  > {2^{\frac{{7x + 11}}{{x - 7}}}} = {5^{\frac{{3x + 51}}{{x - 3}}}}\)

Lấy logarit cơ số 2 cả hai vế, ta được:

\(\frac{{7x + 11}}{{x - 7}} = \frac{{3x + 51}}{{x - 3}}{\log _2}5 < = > \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{7{x^2} - 10x - 33 = (3{x^2} + 30x - 357){{\log }_2}5}\\
{x \ne 7,x \ne 3}
\end{array}} \right.\)

\( <  =  > (7 - 3{\log _2}5){x^2} - 2(5 + 15{\log _2}5) - (33 - 357{\log _2}5) = 0\)         

Ta có: \(\Delta ' = {(5 + 15{\log _2}5)^2} + (7 - 3{\log _2}5)(33 - 357{\log _2}5)\)

\( = 1296\log _2^25 - 2448{\log _2}5 + 256 > 0\)               

Phương trình đã cho có hai nghiệm: \(x = \frac{{5 + 15{{\log }_2}5 \pm \sqrt {\Delta '} }}{{7 - 3{{\log }_2}5}}\)  , đều thỏa mãn điều kiện 

Bài 2.31 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình mũ sau:

a) \({2^{x + 4}} + {2^{x + 2}} = {5^{x + 1}} + {3.5^x}\)

b) \({5^{2x}} - {7^x} - {5^{2x}}.17 + {7^x}.17 = 0\)

c) \({4.9^x} + {12^x} - {3.16^x} = 0\)

d) \( - {8^x} + {2.4^x} + {2^x} - 2 = 0\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \({16.2^x} + {4.2^x} = {5.5^x} + {3.5^x}\)

\(\Leftrightarrow {20.2^x} = {8.5^x} \Leftrightarrow {(\frac{2}{5})^x} = {(\frac{2}{5})^1} \Leftrightarrow x = 1\)

b) \({16.7^x} - {16.5^{2x}} = 0\)

\( \Leftrightarrow   {7^x} = {5^{2x}}  \Leftrightarrow {(\frac{7}{{25}})^x} = {(\frac{7}{{25}})^0} \Leftrightarrow x = 0\)

c) Chia hai vế cho \({12^x}({12^x} > 0)\) , ta được:

   \(4{(\frac{3}{4})^x} + 1 - 3{(\frac{4}{3})^x} = 0\)                                    

Đặt  \(t = {(\frac{3}{4})^x}\) (t > 0), ta có phương trình:

\(4t + 1 - \frac{3}{t} = 0 \Leftrightarrow 4{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = - 1(l)}\\
{t = \frac{3}{4}}
\end{array}} \right.\)

Do đó,  \({(\frac{3}{4})^x} = {(\frac{3}{4})^1}\) . Vậy x = 1.

d) Đặt \(t = {2^x}(t > 0)\)  , ta có phương trình:

\( - {t^3} + 2{t^2} + t - 2 = 0\)

\(\Leftrightarrow(t - 1)(t + 1)(2 - t) = 0 < = >\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{t = 1}\\
{t = - 1(l)}\\
{t = 2}
\end{array}} \right.\)

Do đó,

\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{2^x} = 1}\\
{{2^x} = 2}
\end{array}} \right.\)

Bài 2.32 trang 125 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các phương trình sau bằng phương pháp đồ thị:

a) \({2^{ - x}} = 3x + 10\)

b) \({(\frac{1}{3})^{ - x}} =  - 2x + 5\)

c) \({(\frac{1}{3})^x} = x + 1\)

d) \({3^x} = 11 - x\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Vẽ đồ thị của hàm số: \(y = {2^{ - x}}\)  và đường thẳng y = 3x  +10 trên cùng một hệ trục tọa độ (H. 57) ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = -2. Thử lại, ta thấy x = -2 thỏa mãn phương trình đã cho.

Mặt khác, hàm số  \(y = {2^{ - x}} = {(\frac{1}{2})^x}\) luôn nghịch biến, hàm số y = 3x + 10 luôn đồng biến.

Vậy x = -2 là nghiệm duy nhất.

b) Vẽ đồ thị của hàm số  \(y = {(\frac{1}{3})^{ - x}}\) và đường thẳng y = -2x + 5 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.58), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1. Thử lại, ta thấy x = 1 thỏa mãn phương trình đã cho.

Mặt khác, hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^{ - x}} = {3^x}\) luôn đồng biến, hàm số y = -2x + 5 luôn nghịch biến.

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất.

c) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) và đường thẳng y = x + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.59), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0. Thử lại, ta thấy x = 0 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) là hàm số luôn nghịch biến, hàm số y = x  +1 luôn đồng biến.

Vậy x = 0 là nghiệm duy nhất.

d) Vẽ đồ thị của hàm số  và đường thẳng y = 11 – x trên cùng một hệ trục tọa độ (H.60), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 2. Thử lại, ta thấy x = 2 thỏa mãn phương trình đã cho. Mặt khác, \(y = {3^x}\) luôn đồng biến , y = 11 – x luôn nghịch biến . Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất.

Giaibaitap.me