Bài 2.43 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = {x^{\sqrt 3 }}\)                                               

b) \(y = {x^{\frac{1}{\pi }}}\)

c) \(y = {x^{ - e}}\)                                 

Hướng dẫn làm bài:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^{\sqrt 3 }}\) 

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

 \(y' = \sqrt 3 {x^{\sqrt 3  - 1}}\)                      

\(y' > 0,\forall x \in D\) nên hàm số luôn đồng biến.

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)           

Đồ thị không có tiệm cận

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^{\frac{1}{\pi }}}\)

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

\(y' = \frac{1}{\pi }{x^{\frac{1}{\pi } - 1}}\)            

\(y' > 0,\forall x \in D\) nên hàm số luôn đồng biến.

   \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \)                         

Đồ thị không có tiệm cận.

Bảng biến thiên:

Đồ thị

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {x^{ - e}}\)

Tập xác định: \(D = (0; + \infty )\)

  \(y' =  - e{x^{ - e - 1}}\)             

\(y' < 0,\forall x \in D\) nên hàm số luôn nghịch biến

     \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = 0\)            

Đồ thị có tiệm cận ngang là trục hoành, tiệm cận đứng là trục tung.

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Bài 2.44 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{2}{{\sqrt {{4^x} - 2} }}\)                                                                 

b) \(y = {\log _6}\frac{{3x + 2}}{{1 - x}}\)

c) \(y = \sqrt {\log x + \log (x + 2)} $\)                                                    

d) \(y = \sqrt {\log (x - 1) + \log (x + 1)} \)

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số xác định khi:

\({4^x} - 2 > 0\Leftrightarrow {2^{2x}} > 2\Leftrightarrow  x > \frac{1}{2}\)               

Vậy tập xác định là \(D = (\frac{1}{2}; + \infty )\)

b) \(D = ( - \frac{2}{3};1)\)

c) 

\(\eqalign{& \log x + \log (x + 2) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\log [x(x + 2){\rm{]}} \ge \log 1} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{{x^2} + 2x - 1 \ge 0} \cr {x > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{\left[ {\matrix{{x \le - 1 - \sqrt 2 } \cr {x \ge - 1 + \sqrt 2 } \cr} } \right.} \cr {x > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \ge - 1 + \sqrt 2 \cr}\)

Vậy tập xác định là  \(D = {\rm{[}} - 1 + \sqrt 2 ; + \infty )\)

d) Tương tự câu c, \(D = {\rm{[}}\sqrt 2 ; + \infty )\).

Bài 2.45 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hai hàm số:

\(f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2},g(x) = \frac{{{a^x} - {a^{ - x}}}}{2}\)

a) Chứng minh rằng f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Tìm giá trị bé nhất của f(x) trên tập xác định.

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có tập xác định của cả hai hàm số f(x), g(x) đều là R. Mặt khác:

\(f( - x) = \frac{{{a^{ - x}} + {a^x}}}{2} = f(x),g( - x) = \frac{{{a^{ - x}} - {a^x}}}{2} =  - g(x)\)

Vậy f(x) là hàm số chẵn, g(x) là hàm số lẻ.

b) Ta có: \(f(x) = \frac{{{a^x} + {a^{ - x}}}}{2} \ge \sqrt {{a^x}{a^{ - x}}}  = 1,\forall x \in R\)  và \(f(0) = \frac{{{a^0} + {a^0}}}{2} = 1\)

Vậy min f(x) = f(0) = 1.

Bài 2.46 trang 133 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho a + b = c với a > 0, b > 0.

a) Chứng minh rằng \({a^m} + {b^m} < {c^m}\)  , nếu m > 1.

b) Chứng minh rằng  \({a^m} + {b^m} < {c^m}\)   , nếu 0 < m < 1

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có: \({a^m} + {b^m} < {c^m} \Leftrightarrow {(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < 1\)  (1)

Theo đề bài  a + b = c, a > 0, b > 0 nên \(0 < \frac{a}{c} < 1,0 < \frac{b}{c} < 1\) .

Suy ra với m > 1 thì \({(\frac{a}{c})^m} < {(\frac{a}{c})^1};{(\frac{b}{c})^m} < {(\frac{b}{c})^1}\)

Từ đó ta có: \({(\frac{a}{c})^m} + {(\frac{b}{c})^m} < \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = 1\)

Vậy  (1) đúng và ta có điều phải chứng minh.

b) Chứng minh tương tự.

Giaibaitap.me