Bài 2.39 trang 131, 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình mũ sau:

a) \({3^{|x - 2|}} < 9\)                                                                                    

b)  \({4^{|x + 1|}} > 16\)

c) \({2^{ - {x^2} + 3x}} < 4\)

d) \({(\frac{7}{9})^{2{x^2} - 3x}} \ge \frac{9}{7}\)

e) \({11^{\sqrt {x + 6} }} \ge {11^x}\)

g) \({2^{2x - 1}} + {2^{2x - 2}} + {2^{2x - 3}} \ge 448\)

h)\({16^x} - {4^x} - 6 \le 0\)                                                                       

i) \(\frac{{{3^x}}}{{{3^x} - 2}} < 3\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \({3^{|x - 2|}} < {3^2}\)

\( \Leftrightarrow |x - 2| < 2\)

\( \Leftrightarrow - 2 < x - 2 < 2\)

\( \Leftrightarrow 0 < x < 4\)

b) 

\({4^{|x + 1|}} > {4^2}\)

\( \Leftrightarrow |x + 1| > 2 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x + 1 > 2}\\
{x + 1 < - 2}
\end{array}} \right.  \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x > 1}\\
{x < - 3}
\end{array}} \right.\)

c) 

\({2^{ - {x^2} + 3x}} < {2^2}\)

\( \Leftrightarrow - {x^2} + 3x < 2 \)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 > 0  \Leftrightarrow  \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x < 1}\\
{x > 2}
\end{array}} \right.\)

d)

\({(\frac{7}{9})^{2{x^2} - 3x}} \ge {(\frac{7}{9})^{ - 1}}\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x \le  - 1\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x + 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le x \le 1\)

e)

\(\eqalign{& \sqrt {x + 6} \ge x \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x + 6 \ge 0} \cr {x < 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x \ge 0} \cr {x + 6 \ge {x^2}} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{\left\{ {\matrix{{x \ge - 6} \cr {x < 0} \cr} } \right.} \cr {\left\{ {\matrix{{x \ge 0} \cr {{x^2} - x - 6 \le 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - 6 \le x < 0} \cr {\left\{ {\matrix{{ - 2 \le x \le 3} \cr {x \ge 0} \cr} } \right.} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - 6 \le x < 0} \cr {0 \le x \le 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow - 6 \le x \le 3 \cr}\)

g)

\(\frac{1}{2}{.2^{2x}} + \frac{1}{4}{.2^{2x}} + \frac{1}{8}{.2^{2x}} \ge 448\)

\( \Leftrightarrow {2^{2x}} \ge 512 \Leftrightarrow {2^{2x}} \ge {2^9}  \Leftrightarrow x \ge \frac{9}{2}\)

h) Đặt  t = 4^x  (t > 0), ta có hệ bất phương trình:

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{{t^2} - t - 6 \le 0} \cr {t > 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{ - 2 \le t \le 3} \cr {t > 0} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow 0 < t \le 3 \Leftrightarrow 0 < {4^x} \le 3 \Leftrightarrow x \le {\log _4}3 \cr} \)

i) 

\(\eqalign{& {{{3^x}} \over {{3^x} - 2}} - 3 < 0 \Leftrightarrow {{ - {{2.3}^x} + 6} \over {{3^x} - 2}} < 0 \cr & \Leftrightarrow {{{3^x} - 3} \over {{3^x} - 2}} > 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{3^x} > 3} \cr {{3^x} < 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x > 1} \cr {x < {{\log }_3}2} \cr} } \right. \cr} \)

Bài 2.40 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình logarit sau:

a) \({\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2\)

b) \({\log _3}(x - 3) + {\log _3}(x - 5) < 1\)

c) \({\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0\)                                                                       

d) \({\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)

e) \(\frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)                                                             

g) \(4{\log _4}x - 33{\log _x}4 \le 1\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \(0 < x - 1 \le {(\frac{1}{3})^{ - 2}} \Leftrightarrow 1 < x \le 10\)

b) 

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {{{\log }_3}{\rm{[}}(x - 3)(x - 5){\rm{]}} < {{\log }_3}3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {{x^2} - 8x + 12 < 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 5} \cr {2 < x < 6} \cr} } \right.} \right. \cr & \Leftrightarrow 5 < x < 6 \cr} \)

c) 

\(\eqalign{& \left\{ {\matrix{{x - 7 > 0} \cr {{{2{x^2} + 3} \over {x - 7}} > 1} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {2{x^2} + 3 > x - 7} \cr} } \right.} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {2{x^2} - x + 10 > 0} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{{x > 7} \cr {x \in R} \cr} \Leftrightarrow x > 7} \right.} \right. \cr} \)

d)

\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 3}}}{\log _2}{x^2} > {\log _{{1 \over 3}}}1 \cr
& \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < 1 \cr
& \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < {\log _2}2 \cr
& \Leftrightarrow 0 < {x^2} < 2 \cr} \)

\(\Leftrightarrow 0 < |x| < \sqrt 2 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - \sqrt 2 < x < 0} \cr {0 < x < \sqrt 2 } \cr} } \right.\)

e) Đặt \(t = \log x\) với điều kiện \(t \ne 5,t \ne  - 1\)  ta có:

\(\eqalign{
& {1 \over {5 - t}} + {2 \over {1 + t}} < 1 \Leftrightarrow {{t + 1 + 10 - 2t} \over {5 + 4t - {t^2}}} - 1 < 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{t^2} - 5t + 6} \over {{t^2} - 4t - 5}} > 0 \Leftrightarrow {{(t - 2)(t - 3)} \over {(t + 1)(t - 5)}} > 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t < - 1} \cr {2 < t < 3} \cr {t > 5} \cr} } \right. \cr} \)

Suy ra  log x < -1 hoặc 2 < log x < 3 hoặc log x > 5.

Vậy  \(x < \frac{1}{{10}}\)  hoặc 100 < x < 1000  hoặc x > 100 000.

g) Với điều kiện \(x > 0,x \ne 1\)  đặt \(t = {\log _4}x\) , ta có:  \(4t - \frac{{33}}{t} \le 1\)

\(\eqalign{& \Leftrightarrow {{4{t^2} - t - 33} \over t} \le 0 \Leftrightarrow {{(4t + 11)(t - 3)} \over t} \le 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{t \le - {{11} \over 4}} \cr {0 < t \le 3} \cr} } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{{{\log }_4}x \le - {{11} \over 4}} \cr {0 < {{\log }_4}x \le 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{0 < x \le {4^{ - {{11} \over 4}}}} \cr {1 < x \le 64} \cr} } \right. \cr} \)

Bài 2.41 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải các bất phương trình sau bằng đồ thị:

a) \({(\frac{1}{2})^x} < x - \frac{1}{2}\)                                                                              

b) \({(\frac{1}{3})^x} \ge x + 1\)

c) \({\log _{\frac{1}{3}}}x > 3x\)                                                                                 

d) \({\log _2}x \le 6 - x\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{2})^x}\) và đường thẳng \(y = x - \frac{1}{2}\) trên cùng một hệ trục tọa độ (H.65), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 1. Với x > 1 đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{2})^x}\) nằm phía dưới đường thẳng \(y = x - \frac{1}{2}\) . Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \((1; + \infty )\)

b) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) và đường thẳng y = x + 1 trên cùng một hệ trục tọa độ (H.66), ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 0.

Khi x < 0 đồ thị của hàm số \(y = {(\frac{1}{3})^x}\) nằm phía trên đường thẳng y = x + 1. Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( - \infty ;0]\)

c) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) và đường thẳng y = 3x trên cùng một hệ trục tọa độ ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ \(x = \frac{1}{3}\)  (H.67)

Khi \(x < \frac{1}{3}\) đồ thị của hàm số \(y = {\log _{\frac{1}{3}}}x\) nằm phía trên đường thẳng y = 3x.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( - \infty ;\frac{1}{3})\) .

d) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {\log _2}x\) và đường thẳng y = 6 – x  trên cùng một hệ trục tọa độ, ta thấy chúng cắt nhau tại điểm có hoành độ x = 4 (H.68).

Khi x < 4, đồ thị của hàm số \(y = {\log _2}x\) nằm phía dưới y = 6 – x .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là \(( - \infty ;4]\).

Bài 2.42 trang 132 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Giải bất phương trình : \({\log _{\frac{1}{3}}}({\log _2}\frac{{2x + 3}}{{x + 1}}) \ge 0\)          

Trả lời:

Đáp số : x < - 2.

Giaibaitap.me