Bài 1.38 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số : \(y = {1 \over 4}{x^3} - {3 \over 2}{x^2} + 5\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình  x³ – 6x² + m = 0  có 3 nghiệm thực phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) Tập xác định: D = R; \(y' = {3 \over 4}{x^2} - 3x\)     

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 4 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(4; + \infty )\).

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (0; 4).

Hàm số đật cực đại tại x = 0, y_CĐ = 5. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4, y_CT = -3.

Đồ thị đi qua A(-2; -3); B(6; 5).

b)  

\(\eqalign{
& {x^3} - 6{x^2} + m = 0 \cr 
& \Leftrightarrow  {x^3} - 6{x^2} = - m \cr} \)             (1)

\( \Leftrightarrow  {1 \over 4}{x^3} - {3 \over 2}{x^2} + 5 = 5 - {m \over 4}\)

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình (1) bằng số giao điểm phân biệt của đồ thị (C) và đường thẳng (d): \(y = 5 - {m \over 4}\)

Suy ra (1) có 3 nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi: \( - 3 < 5 - {m \over 4} < 5 \Leftrightarrow  0 < m < 32\)

Bài 1.39 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: \(y =  - {x^3} + 3x + 1\)

b) Chỉ ra phép biến hình biến (C) thành đồ thị (C’) của hàm số: \(y = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

c) Dựa vào đồ thị (C’), biện luận theo m số nghiệm của phương trình: \({(x + 1)^3} = 3x + m\)

d) Viết phương trình tiếp tuyến (d) của đồ thị (C’), biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng \(y =  - {x \over 9} + 1\)

Hướng dẫn làm bài:

a)

b) Tịnh tiến (C) song song với trục Ox sang trái 1 đơn vị, ta được đồ thị (C₁) của hàm số.

\(y = f(x) =  - {(x + 1)^3} + 3(x + 1) + 1\) hay  \(f(x) =  - {(x + 1)^3} + 3x + 4\) (C1)

Lấy đối xứng  (C1) qua trục Ox, ta được đồ thị (C’) của hàm số \(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)

c) Ta có:  \({(x + 1)^3} = 3x + m\)  (1)

\( \Leftrightarrow {(x + 1)^3} - 3x - 4 = m - 4\)

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đường :

\(y = g(x) = {(x + 1)^3} - 3x - 4\)  (C’)  và y = m – 4          (d1)

Từ đồ thị, ta suy ra:

+) m > 5 hoặc m < 1: phương trình (1) có một nghiệm.

+) m = 5 hoặc m = 1 : phương trình (1) có hai nghiệm.

+) 1 < m < 5 , phương trình (1) có ba nghiệm.

d) Vì (d) vuông góc với đường thẳng \(y =  - {x \over 9} + 1\)  nên ta có hệ số góc bằng 9.

Ta có: \(g'(x) = 3{(x + 1)^2} - 3\)

\(g'(x) = 9 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - 3 \hfill \cr} \right.\)  

Có hai tiếp tuyến phải tìm là:

           \(y – 1 = 9(x – 1) ⇔ y = 9x – 8\);

           \(y + 3 = 9(x  + 3) ⇔ y = 9x + 24.\)

Bài 1.40 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:

a) \({(x - 1)^2} = 2|x - k|\)                                                             

 b) \({(x + 1)^2}(2 - x) = k\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

\(2(x - k) =  \pm {(x - 1)^2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{ - {x^2} + 4x - 1 = 2k} \cr {{x^2} + 1 = 2k} \cr} } \right.\)

Ta vẽ đồ thị của hai hàm số: \(y =  - {x^2} + 4x - 1\)  và  \(y = {x^2} + 1\) 

Từ đồ thị ta suy ra:

2k > 3 : phương trình có hai nghiệm;

2k = 3 : phương trình có ba nghiệm;

2 < 2k < 3 : phương trình có bốn nghiệm;

2k = 2 : phương trình có ba nghiệm;

1 < 2k < 2 : phương trình có bốn nghiệm ;

2k = 1 : phương trình có ba nghiệm ;

2k < 1 : phương trình có hai nghiệm.

\(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{
{1 < k < {3 \over 2},{\rm{or}}{1 \over 2} < k < 1(1)} \cr 
{k = 1,\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k = {1 \over 2},\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k = {3 \over 2}(2)} \cr 
{k > {3 \over 2},\,\,{\rm{hoặc }}\,\,\,k < {1 \over 2}(3)} \cr} } \right.\)

(1) : phương trình có bốn nghiệm;

(2): phương trình có ba nghiệm ;

(3): phương trình có hai nghiệm.

b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số \(y = {(x + 1)^2}(2 - x)\) .

\(y =  - {x^3} + 3x + 2 \Rightarrow  y' =  - 3{x^2} + 3\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow  \left[ {\matrix{
{x = 1} \cr 
{x = - 1} \cr} } \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Từ đồ thị hàm số ta suy ra:

* k > 4  hoặc k < 0: phương trình có một nghiệm;

* k  = 4 hoặc k = 0 : phương trình có hai nghiệm;

* 0 < k < 4: phương trình có ba nghiệm.

Bài 1.41 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: \(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\)   (1)

a) Tìm các điểm mà đồ thị của hàm số (1) đi qua với mọi giá trị của m.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đồ thị của hàm số (1) luôn luôn có cực trị.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của (1) khi m = 0

d) Xác định k để (C) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) \(y = {x^3} - (m + 4){x^2} - 4x + m\)

\( \Leftrightarrow ({x^2} - 1)m + y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0\)

Đồ thị của hàm số (1) luôn luôn đi qua điểm A(x; y) với mọi m khi (x; y) là nghiệm của hệ phương trình: 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 1 = 0 \hfill \cr 
y - {x^3} + 4{x^2} + 4x = 0 \hfill \cr} \right.\)

Giải hệ, ta được hai nghiệm: 

\(\left[ \matrix{
x = 1,x = - 7 \hfill \cr 
x = - 1,y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy đồ thị của hàm số luôn luôn đi qua hai điểm (1; -7) và (-1; -1).

b)  \(y' = 3{x^2} - 2(m + 4)x - 4\)

\(\Delta ' = {(m + 4)^2} + 12\)

Vì ∆’ > 0  với mọi m nên y’ = 0 luôn luôn có hai nghiệm phân biệt (và đổi dấu khi qua hai nghiệm đó). Từ đó suy ra đồ thị của (1) luôn luôn có cực trị.

c)  Học sinh tự giải.

d) Với m = 0 ta có: y = x³ – 4x² – 4x.

Đường thẳng y = kx sẽ cắt (C) tại ba điểm phân biệt nếu phương trình sau có ba nghiệm phân biệt:  x³ – 4x² – 4x = kx.

Hay phương trình x²– 4x – (4 + k) = 0  có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là:

\(\left\{ \matrix{
\Delta ' = k + 8 > 0 \hfill \cr 
k \ne - 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 8 < k < 4 \hfill \cr 
- 4 < k < + \infty \hfill \cr} \right.\)

Giaibaitap.me