Bài 1.42 trang 35 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số   \(y = 2{x^4} - 4{x^2}\)                 (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Với giá trị nào của m, phương trình \({x^2}|{x^2} - 2| = m\) có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?

(Đề thi đại học năm 2009; khối B)

Hướng dẫn làm bài:

a) Tập xác định : D = R

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right.\)                

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-1; 0) và \((1; + \infty )\)

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 1);(0;1)\)

Hàm số đạt cực đại tại  x = 0; y_CĐ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại \(x =  \pm 1;{y_{CT}} =  - 2\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \)                    

 \(y'' = 24{x^2} - 8;y'' = 0 \Leftrightarrow  {x^2} = {1 \over 3} \Leftrightarrow  x =  \pm {{\sqrt 3 } \over 3}\)

Đồ thị có hai điểm uốn: \({I_1}( - {{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9});\,\,{I_2}({{\sqrt 3 } \over 3}; - {{10} \over 9})\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại: 

b) Ta có: \({x^2}|{x^2} - 2| = m\)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow 2{x^2}|{x^2} - 2| = 2m \cr 
& \Leftrightarrow |2{x^2}({x^2} - 2)| = 2m \cr 
& \Leftrightarrow |2{x^4} - 4{x^2}| = 2m \cr} \)

Từ đồ thị hàm số y = 2x⁴ – 4x² có thể suy ra đồ thị của hàm số \(y = |2{x^4} - 4{x^2}|\) như sau:

Phương trình : \(|2{x^4} - 4{x^2}| = 2m\)  có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường  thẳng y = 2m có 6 nghiệm phân biệt với đồ thị (H)

\(⇔ 0 < 2m < 2\)

\(⇔ 0 < m < 1\)

Bài 1.43 trang 35 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: \(y = {{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4}\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox.

c) Biện luận theo k số giao điểm của (C) với đồ thị (P) của hàm số: \( y = k – {2x^2}.\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Học sinh tự giải

b) \({{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4} = 0 \Leftrightarrow  {x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\)

\( \Leftrightarrow ({x^2} + 1)({x^2} - 9) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 3 \hfill \cr 
x = 3 \hfill \cr} \right.\)

(C) cắt trục Ox tại x = -3 và x = 3

Ta có: \(y' = {x^3} - 4x\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x = 3 và x = -3 lần lượt là:

                      \(y = y’(3)(x – 3)\)  và  \(y = y’(-3)(x + 3)\)

              Hay  \(y = 15(x – 3)\)  và  \(y = -15(x + 3)\)

c) \({{{x^4}} \over 4} - 2{x^2} - {9 \over 4} = k - 2{x^2} \Leftrightarrow  {x^4} = 9 + 4k\)

Từ đó, ta có:

\(k =  - {9 \over 4}\)  : (C) và (P) có một điểm chung là \((0; - {9 \over 4})\)

\(k >  - {9 \over 4}\)  :  (C) và (P) có hai giao điểm.

\(k <  - {9 \over 4}\) : (C) và (P) không cắt nhau.

Bài 1.44 trang 35 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số:  y = x⁴ + mx² – m – 5 .

a) Xác định m để đồ thị (C_m) của hàm số đã cho có ba điểm cực trị.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C_-2) (ứng với m = -2) song song với đường thẳng y = 2x – 1.

Hướng dẫn làm bài:

a) y = x⁴ + mx² – m – 5 ;

    y’ = 4x³ + 2mx = 2x(2x² + m)

(C_m) có ba điểm cực trị khi y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt, tức là:

                  2x(2x² + m) = 0  có ba nghiệm phân biệt

⟺ 2x² + m = 0  có hai nghiệm phân biệt khác 0 ⟺ m < 0.

b) Đường (C_-2) có phương trình là y = x⁴ – 2x² – 3 ;

                           y’ = 4x³ – 4x

Tiếp tuyến của  (C_-2) song song với đường thẳng  y = 24x – 1 và đi qua điểm trên đồ thị có hoành độ thỏa mãn:  

4x³ – 4x = 24

⟺  x³ – x – 6 = 0  ⟺  (x – 2)(x² + 2x + 3 ) = 0 ⟺  x = 2

Vậy phương trình của tiếp tuyến phải tìm là  y – y(2) = 24(x – 2)

⟺ y = 24x – 43.

Bài 1.45 trang 35 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số:  y = x⁴ – 2x² .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = -2.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008).

Hướng dẫn làm bài:

a)

b) Ta có:  y’ = 4x³ – 4x ; y(-2) = 8; y’(-2) = -24

Phương trình tiếp tuyến phải tìm là:

                          y – y(-2) = y’(-2)(x  +2)

                  ⇔ y – 8 = -24(x + 2)  ⇔ y = -24x - 40

Giaibaitap.me