Bài 1.49 trang 36 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số:  y = 4x³ + mx              (m là tham số)       (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng y = 13x + 1.

Hướng dẫn làm bài:

a) \(y = 4{x^3} + x,y' = 12{x^2} + 1 > 0,\forall x \in R\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

b) Giả sử tiếp điểm cần tìm có tọa độ (x₀; y₀) thì \(f'({x_0}) = 12x_0^2 + 1 = 13\) (vì tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 3x  + 1). Từ đó ta có: \({x_0} =  \pm 1\)

Vậy có hai tiếp tuyến phải tìm là \(y = 13x \pm 8\)

c) Vì  y’ = 12x² + m nên : \(m \ge 0:y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)

+) Với \(m \ge 0\) ta có y’ > 0 (khi m = 0 ; y’ = 0 tại x = 0).

     Vậy hàm số (1) luôn luôn đồng biến khi  \(m \ge 0:y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)

+) Với m < 0 thì \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow  x =  \pm \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \)

Từ đó suy ra:

y’ > 0 với \( - \infty  < x <  - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \) và \(\sqrt {{{ - m} \over {12}}}  < x <  + \infty \)

y’ < 0  với \( - \sqrt {{{ - m} \over {12}}}  < x < \sqrt {{{ - m} \over {12}}} \)

Vậy hàm số (1) đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} ),(\sqrt {{{ - m} \over {12}}} ; + \infty )\) và nghịch biến trên khoảng \(( - \sqrt {{{ - m} \over {12}}} ;\sqrt {{{ - m} \over {12}}} )\)

Bài 1.50 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: y = x³ + mx² – 3                                        (1)

a) Xác định m để hàm số (1) luôn luôn có cực đại, cực tiểu.

b) Chứng minh rằng phương trình:  x³ + mx² – 3 = 0       (2)  luôn luôn có một nghiệm dương với mọi giá trị m thuộc R.

c) Xác định m để phương trình (2) có một nghiệm duy nhất.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số \(y = {x^3} + m{x^2} - 3\) xác định và có đạo hàm trên R.

   \(y' = 3{x^2} + 2mx = x(3x + 2m)\)   

Để hàm số có cực đại , cực tiểu thì phương trình y’ = 0 phải có hai nghiệm phân biệt:

     \({x_1} = 0;{x_2} = {{ - 2m} \over 3} \ne 0\)     

Muốn vậy phải có \(m \ne 0\)

b) Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ({x^3} + m{x^2} - 3) =  + \infty \)  và  \(y(0) = -3 < 0.\)

Vậy với mọi m, phương trình x³ + mx² – 3 = 0  luôn luôn có nghiệm dương.

c) Phương trình  f(x) = x³ + mx² – 3 = 0 có duy nhất một nghiệm khi và chỉ khi cực đại và cực tiểu của hàm số y = f(x) cùng dấu, tức là:

\(\eqalign{
& f(0)f( - {{2m} \over 3}) > 0 \cr 
& \Leftrightarrow  ( - 3)( - {{8{m^3}} \over {27}} + {{4{m^3}} \over 9} - 3) > 0  \cr&\Leftrightarrow 8{m^3} - 12{m^3} + 81 > 0 \cr 
& \Leftrightarrow  4{m^3} < 81 \Leftrightarrow m < 3\root 3 \of {{3 \over 4}} (m \ne 0) \cr} \)

Bài 1.51 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: \(y =  - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5\)

a) Xác định m để hàm số đơn điệu trên R. Khi đó, hàm số đồng biến hay nghịch biến? Tại sao?

b) Với giá trị nào của m thì hàm số đạt cực đại tại x = 1 ?

Hướng dẫn làm bài:

a)

\(\eqalign{
& y = - ({m^2} + 5m){x^3} + 6m{x^2} + 6x - 5 \cr 
& y' = - 3({m^2} + 5m){x^2} + 12mx + 6 \cr} \)  

Hàm số đơn điệu trên R khi và chỉ khi y’ không đổi dấu.

Ta xét các trường hợp:

+)  \({m^2} + 5m = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr 
m = - 5 \hfill \cr} \right.\)

- Với m = 0 thì y’ = 6 nên hàm số luôn đồng biến.

- Với m = -5 thì y’ = -60x + 6 đổi dấu khi x đi qua .

+) Với \({m^2} + 5m \ne 0\) Khi đó, y’ không đổi dấu nếu 

\(\eqalign{
& \Delta ' = 36{m^2} + 18({m^2} + 5m) \le 0 \cr 
& \Leftrightarrow  3{m^2} + 5m \le 0 \Leftrightarrow  - {5 \over 3} \le m \le 0 \cr} \)       

- Với điều kiện đó, ta có \( - 3({m^2} + 5m) > 0\) nên y’ > 0 và do đó hàm số đồng biến trên R.

Vậy với điều kiện \( - {5 \over 3} \le m \le 0\) thì hàm số đồng biến trên R.

b) Nếu hàm số đạt cực đại tại x = 1 thì y’(1) = 0. Khi đó:

\(y'(1) = - 3{m^2} - 3m + 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 1 \hfill \cr 
m = - 2 \hfill \cr} \right.\)                     

Mặt khác, \(y'' =  - 6({m^2} + 5m)x + 12m\)

+) Với m = 1  thì y’’ = -36x + 12. Khi đó, y’’(1) = -24 < 0 , hàm số đạt cực đại tại x = 1.

+) Với m = -2 thì y’’ = 36x – 24. Khi đó, y’’(1) = 12 > 0, hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.

Vậy với m = 1 thì hàm số đạt cực đại tại x = 1.

Bài 1.52 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số \(y = {{(a - 1){x^3}} \over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x\)

a) Xác định a để hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Xác định a để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

c) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với \(a = {3 \over 2}\).

Từ đó suy ra đồ thị của hàm số:  \(y = |{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}|\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  

\(\eqalign{
& y' = 15{x^4} + 5 > 0,\forall x \in R \cr 
& y = {{(a - 1){x^3}} \over 3} + a{x^2} + (3a - 2)x \cr 
& y' = (a - 1){x^2} + 2ax + 3a - 2 \cr} \)                  .

+)Với a = 1, y’ = 2x + 1  đổi dấu khi x đi qua \( - {1 \over 2}\) . Hàm số không luôn luôn đồng biến.

+) Với \(a \ne 1\) thì với mọi x mà tại đó \(y' \ge 0\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a - 1 > 0 \hfill \cr 
\Delta ' = - 2{a^2} + 5a - 2 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ge 2\)   

(y’ = 0  chỉ tại x = -2 khi a = 2)

Vậy với \(a \ge 2\)  hàm số luôn luôn đồng biến.

b) Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt. Ta có:

\(\eqalign{
& y = 0 \Leftrightarrow x{\rm{[}}{{(a - 1){x^2}} \over 3} + ax + 3a - 2] = 0 \cr 
& \Leftrightarrow  x{\rm{[}}(a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6] = 0 \cr} \)

 y = 0    có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình:

\((a - 1){x^2} + 3ax + 9a - 6 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Muốn vậy, ta phải có: 

\(\left\{ \matrix{
a - 1 \ne 0 \hfill \cr 
\Delta = 9{a^2} - 4(a - 1)(9a - 6) > 0 \hfill \cr 
9a - 6 \ne 0 \hfill \cr} \right.\)                                

Giải hệ trên ta được:

\({{10 - \sqrt {28} } \over 9} < a < {2 \over 3};{2 \over 3} < a < 1;1 < a < {{10 + \sqrt {28} } \over 9}\)

c) Khi  \(a = {3 \over 2}\) thì \(y = {{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}\)

\(y' = {{{x^2}} \over 2} + 3x + {5 \over 2}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = - 5 \hfill \cr} \right.\)      

Bảng biến thiên:

Đồ thị

Vì 

\(|{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}| = \left\{ \matrix{
{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2},{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2} \ge 0 \hfill \cr 
- ({{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}),{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2} < 0 \hfill \cr} \right.\)

Nên từ đồ thị  (C) ta suy ra ngay đồ thị hàm số: \(y = |{{{x^3}} \over 6} + {{3{x^2}} \over 2} + {{5x} \over 2}|\)

Giaibaitap.me