Bài 1.53 trang 37 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số : y = x³ – 3x²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình:  x³ – 3x² – m = 0  có ba nghiệm phân biệt.

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008).

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ: D = R

Sự biến thiên: 

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 6x = 3x(x - 2) \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr 
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)                       

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;0),(2; + \infty )\)

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 ; y_CĐ = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2; y_CT = y(2) = -4.

Giới hạn: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  \pm \infty \)

Điểm uốn: \(y'' = 6x - 6,y'' = 0 \Leftrightarrow x = 1;y(1) =  - 2\)

Suy ra đồ thị có điểm uốn I(1; -2)

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị cắt trục hoành tại O(0; 0), A(3; 0). Đồ thị đi qua điểm B(-1; -4); C(2; -4).

b) \({x^3} - 3{x^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} = m\)         (*)

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Từ đó suy ra:  

- 4 < m < 0.

Bài 1.54 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số: \(y =  - {x^4} - {x^2} + 6\)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C)  biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: \(y = {1 \over 6}x - 1\)

(Đề thi tốt nghiếp THPT năm 2010)

Hướng dẫn làm bài:

a)

b) Ta có: \(y' =  - 4{x^3} - 2x\)

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = {1 \over 6}x - 1\) nên tiếp tuyến có hệ số góc là – 6. Vì vậy:

\(\eqalign{
& - 4{x^3} - 2x = - 6 \cr &\Leftrightarrow 2{x^3} + x - 3 = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 2({x^3} - 1) + (x - 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow (x - 1)(2{x^2} + 2x + 3) = 0 \cr} \)

\(\Leftrightarrow x = 1(2{x^2} + 2x + 3 > 0,\forall x)\)

Ta có:  y(1) = 4

Phương trình phải tìm là: y – 4 = -6(x – 1)  ⇔ y = -6x  +10

Bài 1.55 trang 38 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Cho hàm số:  y = f(x) = x⁴ – 2mx² + m³ – m²

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.

b) Xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số đã cho tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) 

\(\eqalign{
& y = {x^4} - 2{x^2} \cr 
& y' = 4{x^3} - 4x = 4x({x^2} - 1) \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
x = 0 \hfill \cr 
x = 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bảng biến thiên:

Đồ thị

b) \(y' = 4{x^3} - 4mx = 4x({x^2} - m)\)

Để  (C_m) tiếp xúc với trục hoành tại hai điểm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 và y_CT = 0.

+) Nếu \(m \le 0\) thì \({x^2} - m \ge 0\) với mọi x nên đồ thị không thể tiếp xúc với trục Ox tại hai điểm phân biệt.

+) Nếu m > 0  thì y’ = 0 khi \(x = 0;x =  \pm \sqrt m \) .

\(\eqalign{
& f(\sqrt m ) = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2{m^2} + {m^3} - {m^2} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow {m^2}(m - 2) = 0 \Leftrightarrow m = 2 \cr} \)

 (do m  > 0)

Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.

Giaibaitap.me