Bài 1.34 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) \(y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2\)  đạt cực tiểu tại x = 1

b) \(y =  - {1 \over 3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1\)  đạt cực đại tại x = -1;

Hướng dẫn làm bài:

a)

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow  3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0 \cr} \)

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

\(y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0\Leftrightarrow  m =  - 3\)   

Khi đó, 

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 3 \cr 
& y'' = 6x;y''(1) = 6 > 0 \cr} \)             

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3

b)

\(\eqalign{
& y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3 \cr 
& y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3 \cr & = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4 \cr} \)     

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

\(\eqalign{
& y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow  {(m + 1)^2} = 4 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 3 \hfill \cr 
m = - 1 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Với m  = -3 ta có y’ = 9x² + 12x + 3

                  \(\Rightarrow y’’ = 18x + 12\)

                  \(\Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6  < 0\)

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

\(y' =  - 7{x^2} - 4x + 3 \)

\(\Rightarrow y'' =  - 14x - 4\)

\(\Rightarrow  y''( - 1) = 10 > 0\)   

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3. 

Bài 1.35 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) \(y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5\) có 3 cực trị

b) \(y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3\) có đúng một cực trị.

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :

\(y' = 4{x^3} + 2({m^2} - 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} - 4) = 0\)  có 3 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow {x^2} + {m^2} - 4 = 0\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

\(\Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2\)

Vậy với  - 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.

b) \(y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx = 2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{]}}\)

Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:

\(2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{] = 0}}\)  chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc \({m \over {2(m - 1)}} \le 0 \Leftrightarrow  0 \le m \le 1\)

Vậy với \(0 \le m \le 1\) hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.

Bài 1.36 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số:  \(y = {1 \over 3}m{x^3} + m{x^2} + 2(m - 1)x - 2\) không có cực trị

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình:

\(y' = m{x^2} + 2mx + 2(m - 1) = 0\) không có 2 nghiệm phân biệt.

Muốn vậy, phải có:

\(\eqalign{
& \Delta ' = {m^2} - 2m(m - 1) = - {m^2} + 2m \le 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le 0 \hfill \cr 
m \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

Vậy với m ≤ 0 hoặc m ≥ 2 hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 1.37 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số: \(y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 3)x - 5\)  luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R

Hướng dẫn làm bài:

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x - 3(m + 3) \cr 
& y' = 0 \Leftrightarrow  {x^2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 \cr} \) 

Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

\( \Leftrightarrow  \Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 3 = {m^2} - m + 4 \ge 0\) 

Ta thấy tam thức \(\Delta ' = {m^2} - m + 4\) luôn dương với mọi \(m \in R\) vì \(\delta  = 1 - 16 =  - 15 < 0\) và a = 1 > 0.

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.

Giaibaitap.me