Bài 1.34 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) $y = {x^3} + (m + 3){x^2} + mx - 2$  đạt cực tiểu tại x = 1

b) $y =  - {1 \over 3}({m^2} + 6m){x^3} - 2m{x^2} + 3x + 1$  đạt cực đại tại x = -1;

Hướng dẫn làm bài:

a)

$\eqalign{ & y' = 3{x^2} + 2(m + 3)x + m \cr  & y' = 0 \Leftrightarrow  3{x^2} + 2(m + 3)x + m = 0 \cr}$

Hàm số đạt cực trị tại x = 1 thì:

$y'(1) = 3 + 2(m + 3) + m = 3m + 9 = 0\Leftrightarrow  m =  - 3$   

Khi đó, 

$\eqalign{ & y' = 3{x^2} - 3 \cr  & y'' = 6x;y''(1) = 6 > 0 \cr}$             

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m = 3

b)

$\eqalign{ & y' = - ({m^2} + 6m){x^2} - 4mx + 3 \cr  & y'( - 1) = - {m^2} - 6m + 4m + 3 \cr & = ( - {m^2} - 2m - 1) + 4 = - {(m + 1)^2} + 4 \cr}$     

Hàm số đạt cực trị tại x = -1 thì :

$\eqalign{ & y'( - 1) = - {(m + 1)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow  {(m + 1)^2} = 4 \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = 3 \hfill \cr  m = - 1 \hfill \cr} \right. \cr}$

Với m  = -3 ta có y’ = 9x² + 12x + 3

                  $\Rightarrow y’’ = 18x + 12$

                  $\Rightarrow y’’(-1) = -18 + 12 = -6  < 0$

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = -1.

Với m = 1 ta có:

$y' =  - 7{x^2} - 4x + 3$

$\Rightarrow y'' =  - 14x - 4$

$\Rightarrow  y''( - 1) = 10 > 0$   

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Kết luận: Hàm số đã cho đạt cực đại tại x = -1 khi m = -3. 

Bài 1.35 trang 33 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số

a) $y = {x^4} + ({m^2} - 4){x^2} + 5$ có 3 cực trị

b) $y = (m - 1){x^4} - m{x^2} + 3$ có đúng một cực trị.

Hướng dẫn làm bài:

a) Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt , tức là :

$y' = 4{x^3} + 2({m^2} - 4)x = 2x(2{x^2} + {m^2} - 4) = 0$  có 3 nghiệm phân biệt

$\Leftrightarrow {x^2} + {m^2} - 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác 0

$\Leftrightarrow 4 - {m^2} > 0 \Leftrightarrow  - 2 < m < 2$

Vậy với  - 2 < m < 2 hàm số có 3 cực trị.

b) $y' = 4(m - 1){x^3} - 2mx = 2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{]}}$

Hàm số có đúng một cực trị khi y’ = 0 có đúng một nghiệm, tức là:

$2x[2(m - 1){x^2} - m{\rm{] = 0}}$  chỉ có nghiệm x = 0

Muốn vậy, phải có m = 1 hoặc ${m \over {2(m - 1)}} \le 0 \Leftrightarrow  0 \le m \le 1$

Vậy với $0 \le m \le 1$ hàm số đã cho có một cực trị duy nhất.

Bài 1.36 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm m để hàm số:  $y = {1 \over 3}m{x^3} + m{x^2} + 2(m - 1)x - 2$ không có cực trị

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình:

$y' = m{x^2} + 2mx + 2(m - 1) = 0$ không có 2 nghiệm phân biệt.

Muốn vậy, phải có:

$\eqalign{ & \Delta ' = {m^2} - 2m(m - 1) = - {m^2} + 2m \le 0 \cr  & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m \le 0 \hfill \cr  m \ge 2 \hfill \cr} \right. \cr}$ 

Vậy với m ≤ 0 hoặc m ≥ 2 hàm số đã cho không có cực trị.

Bài 1.37 trang 34 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số: $y = {x^3} - 3(m - 1){x^2} - 3(m + 3)x - 5$  luôn có cực trị với mọi giá trị của m ∈ R

Hướng dẫn làm bài:

$\eqalign{ & y' = 3{x^2} - 6(m - 1)x - 3(m + 3) \cr  & y' = 0 \Leftrightarrow  {x^2} - 2(m - 1)x - m - 3 = 0 \cr}$ 

Hàm số cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow  \Delta ' = {(m - 1)^2} + m + 3 = {m^2} - m + 4 \ge 0$ 

Ta thấy tam thức $\Delta ' = {m^2} - m + 4$ luôn dương với mọi $m \in R$ vì $\delta  = 1 - 16 =  - 15 < 0$ và a = 1 > 0.

Vậy hàm số đã cho luôn có cực trị với mọi giá trị.

Giaibaitap.me