Bài 1.29 trang 22 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm các tiệm cận đường và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a)  \(y = {{2x - 1} \over {x + 2}}\);                                                          

b) \(y = {{3 - 2x} \over {3x + 1}}\)

c) \(y = {5 \over {2 - 3x}}\)                                                      

d) \(y = {{ - 4} \over {x + 1}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \(y = {{2x - 1} \over {x + 2}}\)

Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} {{2x - 1} \over {x + 2}} =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} {{2x - 1} \over {x + 2}} =  + \infty \)  nên đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{2x - 1} \over {x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{2 - {1 \over x}} \over {1 + {2 \over x}}} = 2\)  nên đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

b) Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - {1 \over 3})}^ + }} {{3 - 2x} \over {3x + 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - {1 \over 3})}^ - }} {{3 - 2x} \over {3x + 1}} =  - \infty \)  , ta có \(x =  - {1 \over 3}\) là tiệm cận đứng

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{3 - 2x} \over {3x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{{3 \over x} - 2} \over {3 + {1 \over x}}} =  - {2 \over 3}\) nên đường thẳng \(y =  - {2 \over 3}\) là tiệm cận ngang.

c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{({2 \over 3})}^ + }} {5 \over {2 - 3x}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{({2 \over 3})}^ - }} {5 \over {2 - 3x}} =  + \infty \) nên \(x = {2 \over 3}\)  là tiệm cận đứng,

Do  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {5 \over {2 - 3x}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang.

d) Do  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} {{ - 4} \over {x + 1}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} {{ - 4} \over {x + 1}} =  + \infty \) nên x  = -1 là tiệm cận đứng.

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{ - 4} \over {x + 1}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang.

Bài 1.30 trang 22 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

a) \(y = {{{x^2} - 12x + 27} \over {{x^2} - 4x + 5}}\)                                                              

b) \(y = {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}}\)

c) \(y = {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}}\)                                                                           

d) \(y = {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}}\) 

e) \(y = {{3x + \sqrt {{x^2} + 1} } \over {2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\)                                                                 

f) \(y = {{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \over {x - 4}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) Ta có:  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{{x^2} - 12x + 27} \over {{x^2} - 4x + 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{1 - {{12} \over x} + {{27} \over {{x^2}}}} \over {1 - {4 \over x} + {5 \over {{x^2}}}}} = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang.

b)  Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} =  - \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng.

Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{{x^2} - x - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{1 - {1 \over x} - {2 \over {{x^2}}}} \over {{{(1 - {1 \over x})}^2}}} = 1\) suy ra y = 1 là tiệm cận ngang.

c) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} =  + \infty \)  và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} =  - \infty \)  nên x = 2 là một tiệm cận đứng.

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} =  + \infty \) và  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} {{{x^2} + 3x} \over {(x - 2)(x + 2)}} =  - \infty \) nên x = -2 là tiệm cận đứng thứ hai.

Ta lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{{x^2} + 3x} \over {{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{1 + {3 \over x}} \over {1 - {4 \over {{x^2}}}}} = 1\) nên y = 1 là tiệm cận ngang.

d) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ \pm }} {{2 - x} \over {(x - 1)(x - 3)}} =  \mp \infty\) nên x = 1 là tiệm cận đứng.

Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ \pm }} {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} =  \mp \infty \) nên x = 3 cũng là tiệm cận đứng

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } {{2 - x} \over {{x^2} - 4x + 3}} = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang.

e) TXĐ:  R

Từ 

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{3 + \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} + \sqrt {3 + {2 \over {{x^2}}}} }} = {4 \over {\sqrt 3 }} = {{4\sqrt 3 } \over 3} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{3 - \sqrt {1 + {1 \over {{x^2}}}} } \over {{2 \over x} - \sqrt {3 + {2 \over {{x^2}}}} }} = - {2 \over {\sqrt 3 }} = - {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang:

\(y = {{4\sqrt 3 } \over 3}\)  khi \(x \to  + \infty \)

\(y =  - {{2\sqrt 3 } \over 3}\) khi \(x \to  - \infty \)

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

f) TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ;4) \cup (4; + \infty )\)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {{5 - {1 \over x} - \sqrt {1 - {2 \over {{x^2}}}} } \over {1 - {4 \over x}}} = 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } {{5 - {1 \over x} + \sqrt {1 - {2 \over {{x^2}}}} } \over {1 - {4 \over x}}} = 6\)    

Cho nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang

           y = 4 khi  \(x \to  + \infty \)

           y = 6 khi \(x \to  - \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ \pm }} {{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \over {x - 4}} =  \pm \infty \)

Cho nên đường thẳng  x = 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Bài 1.31 trang 23 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

a) Cho hàm số \(y = {{3 - x} \over {x + 1}}\) có đồ thị (H)

Chỉ ra một phép biến hình biến (H) thành (H’) có tiệm cận ngang  y = 2 và tiệm cận đứng x = 2.

b) Lấy đối xứng (H’) qua gốc (O), ta được hình (H’’). Viết phương trình của (H’’).

Hướng dẫn làm bài:

a) Từ đồ thị hàm số (H), để có hình (H’) nhận y = 2 là tiệm cận ngang và x = 2 là tiệm cận đứng, ta tịnh tiến đồ thị (H) song song với trục Oy lên trên 3 đơn vị, sau đó tịnh tiến song song với trục Ox về bên phải 3 đơn vị, ta được các hàm số tương ứng sau:

\(\eqalign{
& y = f(x) = {{3 - x} \over {x + 1}} + 3 = {{3 - x + 3x + 3} \over {x + 1}} = {{2x + 6} \over {x + 1}} \cr
& y = g(x) = {{2(x - 3) + 6} \over {x - 3 + 1}} = {{2x} \over {x - 2}} \cr} \)

b) Lấy đối xứng hình (H’) qua gốc O, ta được hình (H’’) có phương trình là:

 \(y = h(x) =  - {{2( - x)} \over {( - x) - 2}} =  - {{ - 2x} \over { - 2 - x}} =  - {{2x} \over {x + 2}}\).

Giaibaitap.me