Bài 1.20 trang 19 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) f(x) = -3x² + 4x – 8  trên đoạn [0; 1]

b)  f(x) = x³ + 3x² – 9x – 7  trên đoạn [-4; 3]

c) \(f(x) = \sqrt {25 - {x^2}} \) trên đoạn [-4; 4]

d)  f(x) = |x² – 3x + 2| trên đoạn [-10; 10]

e) \(f(x) = {1 \over {\sin x}}\) trên đoạn \({\rm{[}}{\pi  \over 3};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}\)

g) \(f(x) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}{\rm{]}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) f(x) = -3x² + 4x – 8 trên đoạn [0; 1]

\(\eqalign{
& f'(x) = - 6x + 4,f'(x) = 0 < = > x = {2 \over 3} \cr
& f({2 \over 3}) = - {{20} \over 3},f(0) = - 8;f(1) = - 7 \cr} \)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;1]} f(x) =  - 8;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;1]} f(x) =  - {{20} \over 3}\)

b)  f(x) = x³ + 3x² – 9x – 7 trên đoạn [-4; 3]

\(f'(x) = 3{x^2} + 6x - 9\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x = 1 và f_CĐ = f(-3) = 20;  f_CT = f(1) = -12 ;

f(-4) = 13 ; f(3) = 20.

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 4;3]} f(x) =  - 12;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 4;3]} f(x) = 20\)

c) \(f(x) = \sqrt {25 - {x^2}} \)  trên đoạn  [-4; 4]

\(f'(x) = {{ - x} \over {\sqrt {25 - {x^2}} }};f'(x) > 0\) trên khoảng (-4; 0) và

      f’(x) < 0  trên khoảng (0; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0  và f_CĐ = 5

Mặt khác, ta có  f(-4) = f(4) = 3

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 4;4]} f(x) = 3;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 4;4]} f(x) = 5\)

d) \(f(x) = |{x^2} - 3x + 2|\) trên đoạn [-10; 10]

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số  g(x) = x² – 3x + 2.

Ta có: 

 \(g'(x) = 2x - 3;g'(x) = 0 <  =  > x = {3 \over 2}\)          

Bảng biến thiên:

Vì

\(f(x) = \left\{ \matrix{
g(x),{x^2} - 3x + 2 \ge 0 \hfill \cr
- g(x),{x^2} - 3x + 2 < 0 \hfill \cr} \right.\)

 nên ta có đồ thị f(x) như sau:

Từ đồ thị suy ra: \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}} - 10;10]} f(x) = f(1) = f(2) = 0;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 10;10]} f(x) = f( - 10) = 132\)

e) \(f(x) = {1 \over {\sin x}}\) trên đoạn \({\rm{[}}{\pi  \over 3};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}\)

\(f'(x) =  - {{\cos x} \over {{{\sin }^2}x}},f'(x) < 0\) nên  và f’(x) > 0  trên \(({\pi  \over 2};{{5\pi } \over 6}{\rm{]}}\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = {\pi  \over 2}\) và \({f_{CT}} = f({\pi  \over 2}) = 1\)

Mặt khác, \(f({\pi  \over 3}) = {2 \over {\sqrt 3 }},f({{5\pi } \over 6}) = 2\)

Vậy \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}{\pi  \over 3};{{5\pi } \over 6}]} f(x) = 1;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}{\pi  \over 3};{{5\pi } \over 6}]} f(x) = 2\)

g) \(f(x) = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}{\rm{]}}\)

\(f'(x) = 2\cos x + 2\cos 2x = 4\cos {x \over 2}\cos {{3x} \over 2}\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\cos {x \over 2} = 0 \hfill \cr
\cos {{3x} \over 2} = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left[ \matrix{
x = \pi \hfill \cr
x = {\pi \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Ta có: \(f(0) = 0,f({\pi  \over 3}) = {{3\sqrt 3 } \over 2},f(\pi ) = 0,f({{3\pi } \over 2}) =  - 2\)

Từ đó ta có :  \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}]} f(x) =  - 2;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;{{3\pi } \over 2}]} f(x) = {{3\sqrt 3 } \over 2}\).

Bài 1.21 trang 20 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) \(y = {x \over {4 + {x^2}}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) ;

b) \(y = {1 \over {\cos x}}\) trên khoảng \(({\pi  \over 2};{{3\pi } \over 2})\)

c) \(y = {1 \over {1 + {x^4}}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) ;

d) \(y = {1 \over {\sin x}}\) trên khoảng \((0;\pi )\) .

Hướng dẫn làm bài:

a)  \(y = {x \over {4 + {x^2}}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) 

\(\eqalign{
& y' = {{4 - {x^2}} \over {{{(4 + {x^2})}^2}}} \cr
& y' = 0 \Rightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Từ đó ta có \(\mathop {\min }\limits_R f(x) =  - {1 \over 4};\mathop {\max }\limits_R f(x) = {1 \over 4}\)

b) \(y = {1 \over {\cos x}}\) trên khoảng \(({\pi  \over 2};{{3\pi } \over 2})\)

 \(y' = {{\sin x} \over {{{\cos }^2}x}};y' = 0 <  =  > x = \pi\)

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất của hàm số là: \(\mathop {\max }\limits_{({\pi  \over 2};{{3\pi } \over 2})} y = y(\pi ) =  - 1\)                       

c) \(y = {1 \over {1 + {x^4}}}\) trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) ;

  \(y' = {{ - 4{x^3}} \over {{{(1 + {x^4})}^2}}};y' = 0 <  =  > x = 0\)

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Giá trị lớn nhất là: \(\mathop {\max }\limits_R y = y(0) = 1\)

d)  \(y = {1 \over {\sin x}}\) trên khoảng \((0;\pi )\)

 \(y' = {{ - \cos x} \over {{{\sin }^2}x}},y' = 0 <  =  > x = {\pi  \over 2}\)

Bảng biến thiên:

Hàm số không có giá trị lớn nhất. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là: \(\mathop {\min }\limits_{(0;\pi )} y = y({\pi  \over 2}) = 1\).

Bài 1.22 trang 20 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f(x) = {{2x - 1} \over {x - 3}}\) trên đoạn [0; 2].

(Đề thi tốt nghiệp THPT năm 2008, lần 2)

Hướng dẫn làm bài:

TXĐ:  D =R\{3}

\(f'(x) =  - {5 \over {{{(x - 3)}^2}}} < 0,\forall x \in D\) và do đó f(x) nghịch biến trên các khoảng \(( - \infty ;3),(3; + \infty )\)

Ta thấy \({\rm{[}}0;2] \subset ( - \infty ;3).\)

Vì vậy:  \(\mathop {\min }\limits_{{\rm{[}}0;2]} f(x) = f(2) =  - 3;\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}}0;2]} f(x) = f(0) = {1 \over 3}\).

Giaibaitap.me