Bài 1.17 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định m để hàm số: \(y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5\)  có cực trị tại x = 1. Khi đó, hàm số đạt cực tiểu hay đạt cực đại? Tính cực trị tương ứng.

Hướng dẫn làm bài:

 \(y = {x^3} - m{x^2} + (m - {2 \over 3})x + 5\)

Ta biết hàm số y = f(x) có cực trị khi phương trình  y’ = 0  có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Ta có: 

Xét  y’ = 0, ta có: \(y' = 3{x^2} - 2mx + (m - {2 \over 3})\)

                       ∆’ > 0  khi m < 1 hoặc m > 2                    (*)

Để hàm số có cực trị tại x = 1 thì

\(y'(1) = 3 - 2m + m - {2 \over 3} = 0 <  =  > m = {7 \over 3}\) , thỏa mãn điều kiện  (*)

Với \(m = {7 \over 3}\) thì hàm số đã cho trở thành:

\(y = {x^3} - {7 \over 3}{x^2} + {5 \over 3}x + 5\)           

Ta có:   

\(\eqalign{
& y' = 3{x^2} - {{14} \over 3}x + {5 \over 3} \cr 
& y'' = 6x - {{14} \over 3} \cr} \)        

Vì \(y''(1) = 6 - {{14} \over 3} > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 và  \({y_{CT}} = {y_{\left( 1 \right)}} = {{16} \over 3}.\)

Bài 1.18 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số: 

\(f(x) = \left\{ \matrix{
- 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr 
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\)                                    

Không có đạo hàm tại x = 0 nhưng đạt cực đại tại điểm đó.

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số:

\(f(x) = \left\{ \matrix{
- 2x,\forall x \ge 0 \hfill \cr 
\sin {x \over 2},\forall x < 0 \hfill \cr} \right.\)         

Không có đạo hàm tại x = 0 vì:

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f(x) - f(0)} \over x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{ - 2x} \over x} = - 2 \cr} \)            

Mặt khác, với  x < 0  thì \(y' = {1 \over 2}\cos {x \over 2}\) , với x > 0 thì y’ = -2 < 0

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = y(0) = 0.

Bài 1.19 trang 16 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Xác định giá trị m để hàm số sau không có cực trị.

\(y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}}\) 

Hướng dẫn làm bài:

Hàm số không có cực trị khi đạo hàm của nó không đổi dấu trên tập xác định \(D=\mathbb R\backslash {\rm{\{ }}m{\rm{\} }}\)

Ta có: 

\(\eqalign{
& y = {{{x^2} + 2mx - 3} \over {x - m}} \cr 
& y' = {{(2x + 2m)(x - m) - ({x^2} + 2mx - 3)} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr 
& = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr} \)             

Xét  g(x) = x² – 2mx – 2m² + 3

        ∆’_g = m² + 2m² – 3 = 3(m² – 1) ;

     ∆’_g ≤ 0  khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Khi – 1 ≤ m ≤ 1 thì phương trình g(x) = 0 vô nghiệm hay y’ = 0 vô nghiệm và y’  > 0 trên tập xác định. Khi đó, hàm số không có cực trị.

Khi m = 1 hoặc m = -1, hàm số đã cho trở thành y = x  + 3 (với x ≠ 1) hoặc y = x – 3 (với x ≠ - 1) Các hàm số này không có cực trị.

Vậy hàm số đã cho không có cực trị khi – 1 ≤ m ≤ 1.

Giaibaitap.me