Bài 1.11 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y =  - 2{x^2} + 7x - 5\)                                                   

b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\)

c) \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\)                                                     

d) \(y = {(x + 1)^3}(5 - x)\)

e) \(y = {(x + 2)^2}{(x - 3)^3}\)

Hướng dẫn làm bài:

a)  \(y =  - 2{x^2} + 7x - 5\)   . TXĐ: R

\(\eqalign{
& y' = - 4x + 7,y' = 0 < = > x = {7 \over 4} \cr
& y'' = - 4 = > y''({7 \over 4}) = - 4 < 0 \cr} \)    

Vậy \(x = {7 \over 4}\) là điểm cực đại của hàm số và \({y_{CD}} = {9 \over 8}\)

b) \(y = {x^3} - 3{x^2} - 24x + 7\) . TXĐ: R

\(y' = 3{x^2} - 6x - 24 = 3({x^2} - 2x - 8)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right.\)

Vì \(y''( - 2) =  - 18 < 0,y''(4) = 18 > 0\) nên hàm số đạt cực đại tại x = - 2 ; đạt cực tiểu tại x = 4 và   y_CĐ = y(-2) = 35 ; y_CT = y(4) = -73.

c) \(y = {x^4} - 5{x^2} + 4\) 

 TXĐ:  R

\(\eqalign{
& = {{2{x^2} - 2{m^2} - {x^2} - 2mx + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} = {{{x^2} - 2mx - 2{m^2} + 3} \over {{{(x - m)}^2}}} \cr
& y' = 4{x^3} - 10x = 2x(2{x^2} - 5) \cr} \)

$$y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0 \hfill \cr
x = - \sqrt {{5 \over 2}} \hfill \cr
x = \sqrt {{5 \over 2}} \hfill \cr} \right.$$

Vì \(y''( \pm \sqrt {{5 \over 2}} ) = 20 > 0,y''(0) =  - 10 < 0\)

Nên hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại \(x =  \pm \sqrt {{5 \over 2}} \) và ta có:

                             y_CĐ = y(0)  = 4 , \({y_{_{CT}}} = y( \pm \sqrt {{5 \over 2}} ) =  - {9 \over 4}\)

d)  TXĐ:  R

\(y' =  - {(x + 1)^3} + 3{(x + 1)^2}(5 - x) = 2{(x + 1)^2}(7 - 2x)\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr
x = {7 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = {7 \over 2};{y_{CD}} = y({7 \over 2}) = {{2187} \over {16}}\)

e)  TXĐ: R

\(y' = 2(x + 2){(x - 3)^3} + 3{(x + 2)^2}{(x - 3)^2} = 5x(x + 2){(x - 3)^2}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 0 \hfill \cr
x = 3 \hfill \cr} \right.\) 

Bảng biến thiên:

Từ đó suy ra y_CĐ = y(-2) = 0 ; y_CT = y(0) = -108.

Bài 1.12 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = {{x + 1} \over {{x^2} + 8}}\)                                                                  

b) \(y = {{{x^2} - 2x + 3} \over {x - 1}}\)

c) \(y = {{{x^2} + x - 5} \over {x + 1}}\)                                                            

d) \(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ : R

\(y' = {{{x^2} + 8 - 2x(x + 1)} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}} = {{ - {x^2} - 2x + 8} \over {{{({x^2} + 8)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr
x = 2 \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại x = 2, cực tiểu tại x = - 4 và \({y_{CD}} = y(2) = {1 \over 4};{y_{CT}} = y( - 4) =  - {1 \over 8}\)

b) Hàm số xác định và có đạo hàm với mọi x  ≠ 1.

\(y' = {{{x^2} - 2x - 1} \over {{{(x - 1)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr
x = 1 + \sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1 - \sqrt 2 \) và đạt cực tiểu tại \(x = 1 + \sqrt 2\) , ta có:

   \({y_{CD}} = y(1 - \sqrt 2 ) =  - 2\sqrt 2 ;{y_{CT}} = y(1 + \sqrt 2 ) = 2\sqrt 2 \)           

c) TXĐ: R\{-1}

\(y' = {{{x^2} + 2x + 6} \over {{{(x + 1)}^2}}} > 0,\forall x \ne  - 1\)  

Hàm số đồng biến trên các khoảng  và do đó không có cực trị.

d) \(y = {{{{(x - 4)}^2}} \over {{x^2} - 2x + 5}}\)

Vì x² – 2x + 5 luôn luôn dương nên hàm số xác định trên \(( - \infty ; + \infty )\)

\(y' = {{2(x - 4)({x^2} - 2x + 5) - {{(x - 4)}^2}(2x - 2)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}} = {{2(x - 4)(3x + 1)} \over {{{({x^2} - 2x + 5)}^2}}}\)

\(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {1 \over 3} \hfill \cr
x = 4 \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - {1 \over 3}\) , đạt cực tiểu tại x = 4 và \({y_{CD}} = y( - {1 \over 3}) = {{13} \over 4};{y_{CT}} = y(4) = 0\)

Bài 1.13 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = x - 6\root 3 \of {{x^2}} \)                                                             

b) \(y = (7 - x)\root 3 \of {x + 5}\)

c) \(y = {x \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}\)                                                           

 d) \(y = {{{x^3}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}\)

Hướng dẫn làm bài:

a) TXĐ:  R

\(y' = 1 - {4 \over {\root 3 \of x }} = {{\root 3 \of x  - 4} \over {\root 3 \of x }}\)

\(y' = 0 <  =  > x = 64\)

Bảng biến thiên:

Vậy ta có y_CĐ = y(0) = 0 và y_CT = y(64) = -32.

b)  Hàm số xác định trên khoảng \(( - \infty ; + \infty )\) .

 \(y' =  - \root 3 \of {x + 5}  + {{7 - x} \over {3\root 3 \of {{{(x + 5)}^2}} }} = {{ - 4(x + 2)} \over {3\root 3 \of {{{(x + 5)}^2}} }}\)        

Bảng biến thiên:

Vậy \({y_{CD}} = y( - 2) = 9\root 3 \of 3 \)

c) Hàm số xác định trên khoảng \(( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\) .

 \(y' = {{\sqrt {10 - {x^2}}  + {{{x^2}} \over {\sqrt {10 - {x^2}} }}} \over {10 - {x^2}}} = {{10} \over {(10 - {x^2})\sqrt {10 - {x^2}} }}\)            

Vì y’ > 0 với mọi \(( - \sqrt {10} ;\sqrt {10} )\)  nên hàm số đồng biến trên khoảng đó và do đó không có cực trị.

d) TXĐ: \(D = ( - \infty ; - \sqrt 6 ) \cup (\sqrt 6 ; + \infty )\)

\(\eqalign{
& y' = {{3{x^2}\sqrt {{x^2} - 6} - {{{x^4}} \over {\sqrt {{x^2} - 6} }}} \over {{x^2} - 6}} \cr
& = {{3{x^2}({x^2} - 6) - {x^4}} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr
& = {{2{x^2}({x^2} - 9)} \over {\sqrt {{{({x^2} - 6)}^3}} }} \cr} \)

Bảng biến thiên:

Từ đó ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = -3, đạt cực tiểu tại x =- 3 và \({y_{CT}} = y(3) = 9\sqrt 3 ;{y_{CD}} = y( - 3) =  - 9\sqrt 3 \)

Bài 1.14 trang 15 Sách bài tập (SBT) Giải tích 12

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) \(y = \sin 2x\)                                                             

b) \(y = \cos x - \sin x\)

c) \(y = {\sin ^2}x\)

Hướng dẫn làm bài:

a) \(y = \sin 2x\)               

Hàm số có chu kỳ \(T = \pi \)

Xét hàm số \(y = \sin 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , ta có:

\(y' = 2\cos 2x\)

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} \hfill \cr
x = {{3\pi } \over 4} \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

Do đó trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) , hàm số đạt cực đại  tại \({\pi  \over 4}\) , đạt cực tiểu tại \({{3\pi } \over 4}\) và \({y_{CD}} = y({\pi  \over 4}) = 1;\,\,{y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4}) =  - 1\)       

Vậy trên R ta có:

\({y_{CĐ}} = y({\pi  \over 4} + k\pi ) = 1;\)

\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k\pi ) =  - 1,k \in Z\)          

b)

Hàm số tuần hoàn chu kỳ  nên ta xét trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\).

\(\eqalign{
& y' = - \sin x - \cos x \cr
& y' = 0 < => \tan x = - 1 < = > x = - {\pi \over 4} + k\pi ,k \in Z \cr} \)

 Lập bảng biến thiên trên đoạn \({\rm{[}} - \pi ;\pi {\rm{]}}\)

Hàm số đạt cực đại tại \(x =  - {\pi  \over 4} + k2\pi \) , đạt cực tiểu tại \(x = {{3\pi } \over 4} + k2\pi (k \in Z)\) và

 \({y_{CĐ}} = y( - {\pi  \over 4} + k2\pi ) = \sqrt 2\) ;

\({y_{CT}} = y({{3\pi } \over 4} + k2\pi ) =  - \sqrt 2 (k \in Z)\)       

c) Ta có: \(y = {\sin ^2}x = {{1 - \cos 2x} \over 2}\)

Do đó, hàm số đã cho tuần hoàn với chu kỳ \(\pi \). Ta xét hàm số \(y = {1 \over 2} - {1 \over 2}\cos 2x\) trên đoạn \({\rm{[}}0;\pi {\rm{]}}\) .

\(\eqalign{
& y' = \sin 2x \cr
& y' = 0 < = > \sin 2x = 0 < = > x = k.{\pi \over 2}(k \in Z) \cr} \) 

Lập bảng biến thiên trên đoạn \(\left[ {0,\pi } \right]\)

Từ đó, ta thấy hàm số đạt cực tiểu tại \(x = k.{\pi  \over 2}\) với k chẵn, đạt cực đại tại \(x = k.{\pi  \over 2}\) với k lẻ, và  

\({y_{CT}} = y(2m\pi ) = 0;\)

\({y_{CĐ}} = y((2m + 1){\pi  \over 2}) = 1(m \in Z)\)

Giaibaitap.me