Bài 1 trang 60 sgk giải tích 12

Tìm tập xác định của các hàm số:

a) y= \(\left ( 1-x \right )^{\frac{-1}{3}}\);

b) y= \(\left ( 2-x^{2} \right )^{\frac{3}{5}}\);

c) y= \(\left ( x^{2}-1 \right )^{-2}\);

d) y= \(\left ( x^{2}-x-2\right )^{\sqrt{2}}\).

Giải

a) \(y= \left ( 1-x \right )^{\frac{-1}{3}}\) xác định khi \(1-x > 0 ⇔ x< 1\). Tập xác định là \((-∞; 1)\).

b) \(y= \left ( 2-x^{2} \right )^{\frac{3}{5}}\) xác định khi \(2-x^2> 0 ⇔ \)

-\(\sqrt{2} < x <\) \(\sqrt{2}\).

Tập xác định là (-\(\sqrt{2}\); \(\sqrt{2}\)).

c) \(y= \left ( x^{2}-1 \right )^{-2}\) xác định khi \(x^2-1\ne 0 ⇔ x \ne ± 1\).

Tập xác định là \(\mathbb R {\rm{\backslash }} {\rm{\{  - 1;1\} }}\) .

d) \(y= \left ( x^{2}-x-2\right )^{\sqrt{2}}\) xác định khi \(x^2-x-2 > 0 ⇔ x <-1;x > 2\).

Tập xác định là: \((-∞;-1) ∪ (2; +∞)\).

Bài 2 trang 61 sgk giải tích 12

Tìm các đạo hàm của các hàm số:

a) \(y= \left ( 2x^{2} -x+1\right )^{\frac{1}{3}}\);

b) \(y= \left ( 4-x-x^{2}\right )^{\frac{1}{4}}\);

c) \(y= \left ( 3x+1\right )^{\frac{\pi }{2}}\);

d) \(y= \left ( 5-x\right )^{\sqrt{3}}\).

Giải

a)  \(y^{'}=\frac{1}{3}\left ( 2x^{2} -x+1\right )^{'}\left (2x^{2}-x+1 \right )^{\frac{1}{3}-1}\)=  \(\frac{\left ( 4x-1\right )\left ( 2x^{2}-x+1 \right )^{\frac{-2}{3}}}{3}\).

b) \(y^{'}=\frac{1}{4}\left ( 4-x-x^{2} \right )^{'}\left ( 4-x-x^{2} \right )^{\frac{1}{4}-1}\)= \(\frac{1}{4}\left ( -2x-1 \right )\left ( 4-x-x^{2} \right )^{\frac{-3}{4}}\).

c) \(y^{'}\)= \(\frac{\pi }{2}\left ( 3x+1 \right )^{'}\left ( 3x+1 \right )^{\frac{\pi }{2}-1}\)= \(\frac{3\pi }{2}\left ( 3x+1 \right )^{\frac{\pi }{2}-1}\).

d) \(y^{'}\)= \(\sqrt{3}\left ( 5-x \right )^{'}\left ( 5-x \right )^{\sqrt{3}-1}\)= \(-\sqrt{3}\left ( 5-x \right )^{\sqrt{3}-1}\).

Bài 3 trang 61 sgk giải tích 12

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) \(y=x^{4\over3}\) ;

b) \(y=x^{-3}\).

Giải

a) Hàm số \(y=x^{4\over3}\)

Tập xác định: \(\mathbb R\).

Sự biến thiên:

 \(y' = {4 \over 3}{x^{{1 \over 3}}} \)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty;0)\), đồng biến trên khoảng \((0;+\infty)\)

- Giới hạn đặc biệt:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } y =  + \infty \).

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận.

- Bảng biến thiên

Đồ thị( hình bên). Đồ thị hàm số qua \((1;1)\), \((2;\root 3 \of {{2^4}} )\).

b) \(y = {x^{ - 3}}\)

Tập xác định: \(D=\mathbb ℝ \backslash {\rm{\{ }}0\} \).

Sự biến thiên:

\(y' =  - 3{x^{ - 4}} < 0,\forall x \in D\)

- Hàm nghich biến trong khoảng \((-∞;0)\) và \((0; +∞)\).

- Giới hạn đặc biệt:

    \(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = + \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = - \infty \cr 
& \mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } y = 0 \cr }\)

- Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng, trục hoành làm tiệm cận ngang.

- Bảng biến thiên

Đồ thị qua \((-1;-1)\), \((1;1)\), \(\left( {2;{1 \over 8}} \right)\), \(\left( {-2;{-1 \over 8}} \right)\). Hàm số đồ thị đã cho là hàm số lẻ nên đối xứng qua gốc tọa độ.

Giaibaitap.me